Suponha que o erro na temperatura de reação, em graus centígrados, para um determinado experimento de laboratório seja a variável aleatória X , cuja função é:
f(x)= x^23, & -1
a) Verifique se f(x) é uma função densidade de probabilidade

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a função $ f(x) $ dada é uma função densidade de probabilidade. Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística, especificamente sobre variáveis aleatórias contínuas. Para resolver isso, precisamos conferir duas coisas:
  1. Se $ f(x) $ é sempre maior ou igual a zero.
  2. Se a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função $ f(x) $:
f(x)
A primeira coisa que precisamos verificar é se $ f(x) $ nunca é negativa. Observando a expressão $ \frac{x^{2}}{3} $, sabemos que qualquer número ao quadrado é sempre positivo ou zero. Como estamos dividindo por 3, que também é positivo, $ \frac{x^{2}}{3} $ será sempre maior ou igual a zero para qualquer valor de $ x $. Portanto, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: verificar se a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio é igual a 1. A integral de uma função densidade de probabilidade deve ser exatamente 1 para garantir que a probabilidade total é 100%.
Então, calculamos:
f(x)
Porque fora do intervalo de -1 a 2, $ f(x) $ é zero, então só precisamos integrar nesse intervalo.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral-1^2 x^23 , dx = 13 integral-1^2 x^2 , dx
A antiderivada de $ x^{2} $ é $ \frac{x^{3}}{3} $, então:
x^2

Resposta

Sim, $ f(x) $ é uma função densidade de probabilidade, já que satisfaz as duas condições necessárias: é não negativa em todo o seu domínio e a integral total é igual a 1.

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