Uma variável aleatória tem f.d.p. triangular dada a seguir
b) P(X <= 3 / 2) R: 7 / 8
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a probabilidade de uma variável aleatória $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{3}{2} $. A matéria envolve funções de densidade de probabilidade (f.d.p.) e integração para encontrar probabilidades. Para resolver, vamos precisar entender como a f.d.p. está definida e calcular a área sob a curva dessa função até $ \frac{3}{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função de densidade de probabilidade $ f(x) $:
f(x)
Isso significa que $ f(x) $ tem duas partes:
De 0 a 1, $ f(x) = x $.
De 1 a 2, $ f(x) = 2 - x $.
Fora desse intervalo, a probabilidade é zero.
Passo 3
A probabilidade $ P(X \leq \frac{3}{2}) $ é a área sob a curva de $ f(x) $ de 0 até $ \frac{3}{2} $. Vamos dividir isso em duas partes porque a função muda de expressão em $ x = 1 $:
De 0 a 1, onde $ f(x) = x $.
De 1 a $ \frac{3}{2} $, onde $ f(x) = 2 - x $.
Passo 4
Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 1:
f(x)
A integral de $ x $ é $ \frac{x^2}{2} $, então:
integral0^1 x , dx
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 1 a $ \frac{3}{2} $:
f(x)
A integral de $ 2 - x $ é $ 2x - \frac{x^2}{2} $, então:
32
Simplificando:
integral1^32 (2 - x) , dx
Passo 6
Agora, somamos as duas áreas que calculamos:
12 + 38 = 48 + 38 = 78
Resposta
A probabilidade $ P(X \leq \frac{3}{2}) $ é $ \frac{7}{8} $.