Considere a população P=0,0,0,1,2 e todas as amostras possíveis de tamanho n=2, com reposição, retiradas dessa população. Sejam X1 e X2 as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Apresente a distribuição amostral da estatística barX=X1+X22.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma população P = 0, 0, 0, 1, 2 e queremos tirar todas as amostras possíveis de tamanho n = 2 com reposição. Vamos trabalhar com as variáveis aleatórias X1 e X2, que representam o primeiro e o segundo número que a gente tira. Nosso objetivo é descobrir a distribuição amostral da média barX = X1 + X22. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre amostragem com reposição e distribuição de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações de amostras de tamanho 2 que podemos tirar da população P, lembrando que a reposição significa que podemos tirar o mesmo número mais de uma vez. Como a população tem 5 elementos, cada posição na amostra pode ser preenchida de 5 maneiras. Então, temos 5 times 5 = 25 combinações possíveis.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que X1 e X2 podem assumir. Na nossa população P, os valores possíveis são 0, 1 e 2. Entretanto, como temos três zeros, a probabilidade de tirar um 0 é maior. Vamos calcular as probabilidades individuais:
  • P(X1 = 0) = 35
  • P(X1 = 1) = 15
  • P(X1 = 2) = 15
O mesmo vale para X2.

Passo 4

Com as probabilidades individuais, vamos agora encontrar todas as combinações possíveis de X1 e X2 e calcular a média barX para cada par:
  • (0, 0) barX = 0
  • (0, 1) barX = 0.5
  • (0, 2) barX = 1
  • (1, 0) barX = 0.5
  • (1, 1) barX = 1
  • (1, 2) barX = 1.5
  • (2, 0) barX = 1
  • (2, 1) barX = 1.5
  • (2, 2) barX = 2

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de barX. Como cada combinação tem probabilidade 125 (já que são 25 no total), somamos as probabilidades para os mesmos valores de barX:
  • P(barX = 0) = P(0,0) = 925 (já que existem 9 combinações que dão 0)
  • P(barX = 0.5) = P(0,1) + P(1,0) = 625
  • P(barX = 1) = P(0,2) + P(2,0) + P(1,1) = 725
  • P(barX = 1.5) = P(1,2) + P(2,1) = 425
  • P(barX = 2) = P(2,2) = 125

Resposta

A distribuição amostral da estatística barX é:
c|c barX & P(barX) hline 0 & 925 0.5 & 625 1 & 725 1.5 & 425 2 & 125

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