Considere a população
e todas as amostras possíveis de tamanho
, com reposição, retiradas dessa população. Sejam
e
as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Apresente a distribuição amostral da estatística
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma população
e queremos tirar todas as amostras possíveis de tamanho
com reposição. Vamos trabalhar com as variáveis aleatórias
e
, que representam o primeiro e o segundo número que a gente tira. Nosso objetivo é descobrir a distribuição amostral da média
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre amostragem com reposição e distribuição de probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações de amostras de tamanho 2 que podemos tirar da população
, lembrando que a reposição significa que podemos tirar o mesmo número mais de uma vez. Como a população tem 5 elementos, cada posição na amostra pode ser preenchida de 5 maneiras. Então, temos
combinações possíveis.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que
e
podem assumir. Na nossa população
, os valores possíveis são 0, 1 e 2. Entretanto, como temos três zeros, a probabilidade de tirar um 0 é maior. Vamos calcular as probabilidades individuais:
O mesmo vale para
.
Passo 4
Com as probabilidades individuais, vamos agora encontrar todas as combinações possíveis de
e
e calcular a média
para cada par:
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de
. Como cada combinação tem probabilidade
(já que são 25 no total), somamos as probabilidades para os mesmos valores de
:
-
(já que existem 9 combinações que dão 0) -
-
-
-
Resposta
A distribuição amostral da estatística
é: