Considere a população P=0,0,0,1,2 e todas as amostras possíveis de tamanho n=2, com reposição, retiradas dessa população. Sejam X1 e X2 as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Apresente a distribuição conjunta de (X1, X2) em uma tabela de dupla entrada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar uma população que é formada pelos números $ P = {0, 0, 0, 1, 2} $. Precisamos tirar amostras de tamanho $ n = 2 $ com reposição dessa população. Vamos trabalhar com duas variáveis aleatórias, $ X_1 $ e $ X_2 $, que representam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Nosso objetivo é criar uma tabela que mostre a distribuição conjunta dessas duas variáveis, ou seja, todas as combinações possíveis de $ X_1 $ e $ X_2 $ e suas probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “amostragem com reposição”. Isso quer dizer que, a cada retirada, o elemento escolhido é colocado de volta na população antes da próxima retirada. Assim, cada seleção é independente das anteriores.

Passo 3

Agora, vamos calcular as probabilidades de cada elemento ser selecionado. A população tem 5 elementos no total: três 0’s, um 1 e um 2. Então:
  • A probabilidade de tirar um 0 ($ P(X = 0) $): $ \frac{3}{5} $
  • A probabilidade de tirar um 1 ($ P(X = 1) $): $ \frac{1}{5} $
  • A probabilidade de tirar um 2 ($ P(X = 2) $): $ \frac{1}{5} $

Passo 4

Como as retiradas são com reposição, as variáveis $ X_1 $ e $ X_2 $ são independentes. Isso significa que a probabilidade conjunta de $ X_1 = x $ e $ X_2 = y $ é o produto das probabilidades individuais:
X1

Passo 5

Vamos agora listar todas as combinações possíveis de $ X_1 $ e $ X_2 $ e calcular suas probabilidades usando a regra da independência que mencionamos.

Resposta

c|ccc & X2=0 & X2=1 & X2=2 hline X1=0 & 35 times 35 = 925 & 35 times 15 = 325 & 35 times 15 = 325 X1=1 & 15 times 35 = 325 & 15 times 15 = 125 & 15 times 15 = 125 X1=2 & 15 times 35 = 325 & 15 times 15 = 125 & 15 times 15 = 125
Cada célula da tabela representa a probabilidade conjunta de $ X_1 $ e $ X_2 $ assumirem determinados valores. Por exemplo, a probabilidade de $ X_1 = 0 $ e $ X_2 = 1 $ é $ \frac{3}{25} $.

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