Considere a população
e todas as amostras possíveis de tamanho
, com reposição, retiradas dessa população. Sejam
e
as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma população $ P = {0, 0, 0, 1, 2} $ e queremos analisar todas as possíveis amostras de tamanho 2 que podemos tirar dessa população, com reposição. As variáveis aleatórias $ X_1 $ e $ X_2 $ representam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Precisamos calcular duas probabilidades:
- $ P\left(\min \left{X_{1}, X_{2}\right} = 0\right) $ – a probabilidade de que o menor dos dois elementos seja 0.
- $ P\left(\max \left{X_{1}, X_{2}\right} = 2\right) $ – a probabilidade de que o maior dos dois elementos seja 2.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade, como espaço amostral e eventos, além de saber como calcular probabilidades em amostras com reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis amostras de tamanho 2 com reposição da população $ P $. Como a população tem 5 elementos e estamos tirando 2 com reposição, o número total de amostras possíveis é $ 5 \times 5 = 25 $.
Vamos listar todas as combinações possíveis:
Perceba que alguns pares se repetem devido aos elementos iguais na população.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ P\left(\min \left{X_{1}, X_{2}\right} = 0\right) $. Isso significa que, em cada amostra, pelo menos um dos elementos deve ser 0.
Primeiro, vamos contar quantas amostras têm pelo menos um 0:
- Todas as amostras onde $ X_1 = 0 $ ou $ X_2 = 0 $.
Observando a lista de amostras, vamos contar:
- Quando $ X_1 = 0 $: há 5 possibilidades para $ X_2 $ (0, 0, 0, 1, 2) → 5 amostras.
- Quando $ X_2 = 0 $: há 5 possibilidades para $ X_1 $ (0, 0, 0, 1, 2) → 5 amostras.
No entanto, o par $ (0, 0) $ foi contado duas vezes, então precisamos subtrair uma vez para evitar duplicação:
Total de amostras com pelo menos um 0 = $ 5 + 5 - 3 = 7 $ amostras.
(Aqui, considere que $ (0,0) $ aparece 3 vezes na lista de amostras.)
Então, a probabilidade é:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P\left(\max \left{X_{1}, X_{2}\right} = 2\right) $. Isso significa que, em cada amostra, pelo menos um dos elementos deve ser 2, mas nenhum dos elementos pode ser maior que 2 (o que já está garantido pela população).
Vamos contar quantas amostras têm pelo menos um 2:
- Todas as amostras onde $ X_1 = 2 $ ou $ X_2 = 2 $.
Observando a lista de amostras:
- Quando $ X_1 = 2 $: há 5 possibilidades para $ X_2 $ (0, 0, 0, 1, 2) → 5 amostras.
- Quando $ X_2 = 2 $: há 5 possibilidades para $ X_1 $ (0, 0, 0, 1, 2) → 5 amostras.
Novamente, o par $ (2, 2) $ foi contado duas vezes, então subtraímos uma vez:
Total de amostras com pelo menos um 2 = $ 5 + 5 - 1 = 9 $ amostras.
No entanto, observando a lista, percebemos que o par $ (2, 2) $ aparece apenas uma vez, então a contagem correta é 9 amostras.
Então, a probabilidade é: