Um provedor de acesso à Internet está monitorando a duração do tempo das conexões de seus clientes, com o objetivo de dimensionar seus equipamentos. Mais especificamente, deseja estimar a proporção p de usuários que demoram 60 minutos ou mais para realizarem suas operações. Uma amostra aleatória de clientes que utilizam esse provedor será coletada, e o tempo de utilização de cada um será registrado.
(a) Qual deve ser o tamanho da amostra, para que o erro de sua estimativa seja no máximo 0,05 , com um nível de confiança de 0,88 ?
(b) A direção da empresa sabe que essa proporção p não ultrapassa 25 \%. Com essa informação seria possível considerar em (a) uma amostra de tamanho menor? Se sim, de quanto? Se não, por quê?

Passo 1

Resumindo o enunciado: o objetivo é estimar a proporção p de usuários que permanecem conectados por 60 minutos ou mais.
No item (a) queremos o tamanho de amostra n para erro máximo E=0,05 com nível de confiança de 88\%.
No item (b) a empresa sabe que p\le0,25 e quer saber se, com essa informação, podemos usar n menor.
Conteúdo: estimação de proporção, intervalo de confiança e cálculo de tamanho de amostra.

Passo 2

Na estimativa de proporção, o intervalo de confiança de nível 1-\alpha satisfaz
\pm\,z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=E
onde E é a margem de erro. Reorganizando, obtemos
\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=\frac{E}{z_{1-\alpha/2}} \quad\Longrightarrow\quad n=\frac{z_{1-\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.

Passo 3

Para 88\% de confiança temos \alpha=0,12 e \alpha/2=0,06. Logo
z_{1-\alpha/2}=z_{0,94}\approx1,5548.

Passo 4

(a) Sem informação prévia sobre p, usamos o caso conservador p=0,5, que maximiza p(1-p). Substituindo em
n=\frac{(1,5548)^{2}\cdot0,5\cdot0,5}{(0,05)^{2}}
temos (1,5548)^{2}\approx2,4184, 0,5\cdot0,5=0,25 e 0,05^{2}=0,0025. Então
n\approx\frac{2,4184\cdot0,25}{0,0025}=\frac{0,6046}{0,0025}\approx241,84,
arredondando para cima, n=242.

Passo 5

(b) Sabendo que p\le0,25, o produto p(1-p) atinge o máximo em p=0,25, pois 0,25\cdot0,75=0,1875. Recalculamos
n=\frac{(1,5548)^{2}\cdot0,25\cdot0,75}{(0,05)^{2}}
isto é
n\approx\frac{2,4184\cdot0,1875}{0,0025}=\frac{0,45345}{0,0025}\approx181,38,
arredondando para cima, n=182. Portanto, com essa informação, podemos reduzir o tamanho da amostra.

Resposta

(a) n=242
(b) Sim. Com p\le0,25 basta n=182.

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