Considere que uma população tem distribuição Poisson com parâmetro theta. Obtenha, através dos métodos de momentos e de máxima verosimilhança, com base na informação contida na amostra observada (4,3,0,2,1,1), as estimativas do parâmetro theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma estimativa para o parâmetro theta de uma distribuição de Poisson, usando dois métodos diferentes: Método dos Momentos e Máxima Verossimilhança. A gente tem uma amostra observada: (4, 3, 0, 2, 1, 1). Pra começar, vamos entender o que é a distribuição de Poisson e o que cada método faz.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a quantidade de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente. O parâmetro theta dessa distribuição representa tanto a média quanto a variância dos eventos.

Passo 3

Vamos começar com o Método dos Momentos. Esse método é bem direto: ele iguala o momento teórico (neste caso, a média) ao momento amostral (a média dos nossos dados) para encontrar a estimativa do parâmetro.

Passo 4

Primeiro, calculamos a média da nossa amostra. A amostra é (4, 3, 0, 2, 1, 1).
barx = 4 + 3 + 0 + 2 + 1 + 16 = 116 approx 1,833

Passo 5

Sabemos que, para a distribuição de Poisson, a média é igual a theta. Então, igualamos a média amostral à média teórica:
thetaMM = barx approx 1,833

Passo 6

Agora, vamos para o método de Máxima Verossimilhança. Esse método busca encontrar o valor de theta que torna a observação dos dados mais “provável”. Para isso, vamos construir a função de verossimilhança e encontrar o valor de theta que a maximiza.

Passo 7

A função de verossimilhança para uma distribuição de Poisson, dado um conjunto de dados x1, x2, dots, xn, é:
L(theta) = prodi=1^n e^-theta theta^xixi!

Passo 8

Para facilitar, vamos trabalhar com o logaritmo da função de verossimilhança (chamado de log-verossimilhança):
ell(theta) = ln L(theta) = sumi=1^n ( -theta + xi ln theta - ln xi! )

Passo 9

Para encontrar o valor de theta que maximiza ell(theta), derivamos em relação a theta e igualamos a zero:
dell(theta)dtheta = sumi=1^n ( -1 + xitheta ) = 0

Passo 10

Resolvendo a equação:
- n + sumi=1^n xitheta = 0
sumi=1^n xitheta = n
thetaMLE = sumi=1^n xin = barx

Passo 11

Vendo que, no caso da distribuição de Poisson, a estimativa de máxima verossimilhança para theta também é a média da amostra:
thetaMLE approx 1,833

Resposta

Tanto pelo Método dos Momentos quanto pela Máxima Verossimilhança, a estimativa para o parâmetro theta é aproximadamente 1,833.

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