Considere que uma população tem distribuição Poisson com parâmetro
. Obtenha, através dos métodos de momentos e de máxima verosimilhança, com base na informação contida na amostra observada
, as estimativas do parâmetro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma estimativa para o parâmetro
de uma distribuição de Poisson, usando dois métodos diferentes: Método dos Momentos e Máxima Verossimilhança. A gente tem uma amostra observada:
. Pra começar, vamos entender o que é a distribuição de Poisson e o que cada método faz.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a quantidade de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente. O parâmetro
dessa distribuição representa tanto a média quanto a variância dos eventos.
Passo 3
Vamos começar com o Método dos Momentos. Esse método é bem direto: ele iguala o momento teórico (neste caso, a média) ao momento amostral (a média dos nossos dados) para encontrar a estimativa do parâmetro.
Passo 4
Primeiro, calculamos a média da nossa amostra. A amostra é
.
Passo 5
Sabemos que, para a distribuição de Poisson, a média é igual a
. Então, igualamos a média amostral à média teórica:
Passo 6
Agora, vamos para o método de Máxima Verossimilhança. Esse método busca encontrar o valor de
que torna a observação dos dados mais “provável”. Para isso, vamos construir a função de verossimilhança e encontrar o valor de
que a maximiza.
Passo 7
A função de verossimilhança para uma distribuição de Poisson, dado um conjunto de dados
, é:
Passo 8
Para facilitar, vamos trabalhar com o logaritmo da função de verossimilhança (chamado de log-verossimilhança):
Passo 9
Para encontrar o valor de
que maximiza
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Passo 10
Resolvendo a equação:
Passo 11
Vendo que, no caso da distribuição de Poisson, a estimativa de máxima verossimilhança para
também é a média da amostra:
Resposta
Tanto pelo Método dos Momentos quanto pela Máxima Verossimilhança, a estimativa para o parâmetro
é aproximadamente
.