(3 pontos) Definimos a variável
como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância de uma medida da corrente elétrica seja
.
a) Determine a média e a variância de
.
a) Determine a média e a variância de
Passo 1
Vamos lá! A questão nos pede para encontrar a média e a variância da variável
, que é o erro amostral da média. Aqui,
representa a média das nossas observações e
é a média populacional verdadeira. A variância de uma medida da corrente elétrica é dada como
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de estatística, especificamente sobre média e variância de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a média de
, ou seja,
.
Sabemos que:
A propriedade da esperança (ou média) nos diz que:
Como
é uma constante (a média populacional verdadeira), sua esperança é ele mesmo:
E, assumindo que nossa estimativa da média amostral
é não tendenciosa, temos:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos determinar a variância de
, ou seja,
.
Novamente, começamos com:
A propriedade da variância para a diferença de duas variáveis (onde uma delas é constante) nos dá:
Como
é uma constante, sua variância é zero:
Agora, sabemos que a variância da média amostral
é relacionada à variância da medida individual. Se considerarmos que cada medida tem variância
e que estamos tomando uma única média (ou seja, o tamanho da amostra é 1), então:
Onde
, então:
Portanto:
Resposta
A média de
é zero
e a variância de
é
.