(3 pontos) Definimos a variável e=barX-mu como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância de uma medida da corrente elétrica seja Lambda^2 Omega^2.
a) Determine a média e a variância de e.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos pede para encontrar a média e a variância da variável , que é o erro amostral da média. Aqui, representa a média das nossas observações e é a média populacional verdadeira. A variância de uma medida da corrente elétrica é dada como . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de estatística, especificamente sobre média e variância de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a média de e = barX - mu , ou seja, E[e] = E[barX - mu] = E[barX] - E[mu] .
Sabemos que:
E[mu] = mu
A propriedade da esperança (ou média) nos diz que:
E[barX] = mu
Como E[e] = mu - mu = 0 é uma constante (a média populacional verdadeira), sua esperança é ele mesmo:
E, assumindo que nossa estimativa da média amostral é não tendenciosa, temos:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos determinar a variância de e = barX - mu , ou seja, Var(e) = Var(barX - mu) = Var(barX) .
Novamente, começamos com:
Var(mu) = 0
A propriedade da variância para a diferença de duas variáveis (onde uma delas é constante) nos dá:
Var(barX) = Lambda^2 Omega^2n
Como Var(barX) = Lambda^2 Omega^2 é uma constante, sua variância é zero:
Var(e) = Lambda^2 Omega^2
Agora, sabemos que a variância da média amostral é relacionada à variância da medida individual. Se considerarmos que cada medida tem variância e que estamos tomando uma única média (ou seja, o tamanho da amostra é 1), então:
Onde , então:
Portanto:

Resposta

A média de é zero e a variância de é .

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