Teste a hipótese que sigma=0.10 contra uma alternativa especificando que sigma neq 0.10, usando alpha=0.01 e obtenha uma conclusão. Estabeleça quaisquer suposições necessárias acerca da distribuição em foco dos dados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai testar uma hipótese sobre o desvio padrão ( sigma) de uma população. Especificamente, queremos verificar se sigma é igual a 0,10 ou se é diferente disso. Para isso, vamos usar um nível de significância de alpha = 0,01. Vamos precisar entender testes de hipóteses para desvio padrão e aplicar o teste qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses que queremos testar:
  • Hipótese nula ( H0): sigma = 0,10
    Isso significa que o desvio padrão da população é 0,10.
  • Hipótese alternativa ( Ha): sigma neq 0,10
    Aqui, estamos dizendo que o desvio padrão é diferente de 0,10.

Passo 3

Agora, precisamos decidir qual teste estatístico usar. Como estamos testando o desvio padrão de uma população cuja distribuição é assumida como normal, o teste apropriado é o teste qui-quadrado para variância.
A fórmula do teste qui-quadrado para variância é:
chi^2 = (n - 1) cdot s^2sigma0^2
Onde:
  • n é o tamanho da amostra
  • s^2 é a variância da amostra
  • sigma0^2 é a variância hipotética (neste caso, 0,10^2 = 0,01)

Passo 4

Antes de seguir, precisamos fazer algumas suposições:
  1. Distribuição Normal: Os dados seguem uma distribuição normal.
  2. Amostra Aleatória: A amostra foi selecionada de forma aleatória e independente.
Essas suposições são importantes para garantir a validade do teste qui-quadrado.

Passo 5

Vamos calcular o valor do teste qui-quadrado. Para isso, precisamos de:
  • O tamanho da amostra ( n)
  • A variância da amostra ( s^2)
Como esses valores não foram fornecidos no enunciado, suponhamos que:
  • n = 30
  • s = 0,12 (então s^2 = 0,0144)
Aplicando na fórmula:
chi^2 = (30 - 1) cdot 0,01440,01 = 29 cdot 0,01440,01 = 0,41760,01 = 41,76

Passo 6

Agora, vamos determinar os valores críticos do qui-quadrado para alpha = 0,01 e df = n - 1 = 29 graus de liberdade. Como é um teste bilateral ( sigma neq 0,10), dividimos o nível de significância em duas caudas:
  • alpha/2 = 0,005 na cauda esquerda
  • alpha/2 = 0,005 na cauda direita
Consultando uma tabela qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
  • chi^20,005, 29 approx 15,982
  • chi^20,995, 29 approx 48,602

Passo 7

Vamos comparar o valor do nosso teste ( chi^2 = 41,76) com os valores críticos:
  • Se chi^2 < 15,982 ou chi^2 > 48,602, rejeitamos H0.
  • Caso contrário, não rejeitamos H0.
No nosso caso, 41,76 está entre 15,982 e 48,602, então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, não há evidências suficientes para afirmar que o desvio padrão da população é diferente de 0,10 ao nível de significância de 1%.

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