5-) Considere a possibilidade da propagação de ondas eletromagnéticas no interior de uma cavidade cúbica de aresta de comprimento igual a
, de paredes metálicas perfeitamente refletoras, no interior da qual se fez vácuo.
a-) Resolva a componente elétrica da equação de onda para o problema considerando as seguintes condições de contorno:
b-) Determine os valores possíveis para o módulo do vetor de propagação
, condizentes com as condições de contorno descritas acima.
c-) Determine os valores dos comprimentos de onda e das freqüências de oscilação permitidas no interior da cavidade ressonante cúbica. Justifique detalhadamente as suas respostas.
a-) Resolva a componente elétrica da equação de onda para o problema considerando as seguintes condições de contorno:
c-) Determine os valores dos comprimentos de onda e das freqüências de oscilação permitidas no interior da cavidade ressonante cúbica. Justifique detalhadamente as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como as ondas eletromagnéticas se comportam dentro de uma cavidade cúbica com paredes metálicas que refletem perfeitamente, e dentro dessa cavidade tem vácuo. A matéria que vamos usar aqui é a Equação de Onda para campos elétricos e magnéticos em eletrodinâmica. Para resolver, vamos precisar entender as condições de contorno dadas e como elas influenciam as componentes do campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a), que pede para resolver a componente elétrica da equação de onda com as condições de contorno específicas. A Equação de Onda para o campo elétrico $ \vec{E} $ no vácuo é:
Aqui, $ \nabla^2 $ é o operador laplaciano, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo e $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo. Como a cavidade é estática no tempo (baseado nas condições de contorno estacionárias), podemos considerar soluções de onda que se separem em partes espaciais e temporais.
Passo 3
Vamos assumir que a componente $ E_x $ do campo elétrico depende das coordenadas $ x, y, z $ e do tempo $ t $. Com as condições de contorno dadas:
Isso significa que $ E_x $ é zero nas faces da cavidade onde $ y=0 $, $ y=L $, $ z=0 $, e $ z=L $. Essas condições indicam que $ E_x $ deve ser uma função que se anula nessas fronteiras, sugerindo uma solução em termos de funções seno.
Passo 4
Sabemos que as soluções para a equação de onda em uma cavidade com condições de contorno de Dirichlet (onde a função é zero nas fronteiras) são combinadas de funções seno nas direções correspondentes. Portanto, podemos escrever:
Onde $ n_x, n_y, n_z $ são números inteiros positivos que determinam os modos de ressonância da cavidade, $ E_0 $ é a amplitude, e $ \omega $ é a frequência angular.
Passo 5
Agora, para a parte b), precisamos encontrar os valores possíveis para o vetor de propagação $ \vec{k} = k_x \hat{\imath} + k_y \hat{\jmath} + k_z \hat{k} $ que satisfazem as condições de contorno. Observando a solução que propusemos:
Então, os componentes do vetor $ \vec{k} $ são múltiplos inteiros de $ \frac{\pi}{L} $, conforme os modos de ressonância escolhidos.
Passo 6
Para a parte c), vamos determinar os comprimentos de onda e as frequências de oscilação permitidas. O comprimento de onda $ \lambda $ está relacionado ao vetor de propagação pela equação:
Substituindo os valores de $ k_x, k_y, k_z $:
Assim,
A frequência de oscilação $ \nu $ está relacionada à frequência angular $ \omega $ por:
E pela equação da onda,
Portanto,
Onde $ c $ é a velocidade da luz no vácuo.
Resposta
a) A componente $ E_x $ da equação de onda é dada por $ E_x(x, y, z, t) = E_0 \sin\left(\frac{n_x \pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{n_y \pi y}{L}\right) \sin\left(\frac{n_z \pi z}{L}\right) e^{-i \omega t} $.
b) Os valores possíveis para o vetor de propagação são $ \vec{k} = \frac{n_x \pi}{L} \hat{\imath} + \frac{n_y \pi}{L} \hat{\jmath} + \frac{n_z \pi}{L} \hat{k} $, onde $ n_x, n_y, n_z $ são inteiros positivos.
c) Os comprimentos de onda permitidos são $ \lambda = \frac{2L}{\sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}} $ e as frequências de oscilação são $ \nu = \frac{c}{2L} \sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2} $, onde $ c $ é a velocidade da luz no vácuo.