Considere os potenciais termodinâmicos U, F, H e G e seus diferenciais d U=T d S-P d V+\mu d n d F=-S d T-P d V+\mu d n d H=T d S+V d P+\mu d n d G=-S d T+V d P+\mu d n
Encontre todas as relações de Maxwell.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro potenciais termodinâmicos cujos diferenciais são
dU = T\,dS - P\,dV + \mu\,dn,
dF = -S\,dT - P\,dV + \mu\,dn,
dH = T\,dS + V\,dP + \mu\,dn,
dG = -S\,dT + V\,dP + \mu\,dn.
O conteúdo aqui é a obtenção das relações de Maxwell a partir da igualdade das derivadas parciais mistas de funções de duas variáveis (S e V para U, T e V para F, S e P para H, T e P para G), mantido n constante.
Passo 2
Para um potencial \Phi(x,y,n) com diferencial
d\Phi = A(x,y,n)\,dx + B(x,y,n)\,dy + \mu\,dn,
temos
A = \Bigl(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\Bigr)_{y,n}, \quad B = \Bigl(\frac{\partial \Phi}{\partial y}\Bigr)_{x,n}.
Pela igualdade das derivadas cruzadas (teorema de Schwarz),