Determine a densidade de elétrons livres para (a) o ouro, cuja massa é densidade de 19,3 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e (b) a prata, cuja densidade é de 10,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Ambos os metais são monovalentes. R.: \eta_{\mathrm{Au}}=5,9 \times 10^{28} elétrons / \mathrm{m}^{3}, \eta_{\mathrm{Ag}}=5,86 \times 10^{28} elétrons / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a densidade de elétrons livres, \eta, em metais monovalentes (ouro e prata), conhecendo-se apenas a densidade de massa \rho de cada um. O que precisamos é relacionar a densidade de massa com o número de átomos por unidade de volume e, como cada átomo monovalente doa um elétron livre, obter \eta.

Passo 2

Para um metal monovalente temos z=1 elétron livre por átomo. O número de átomos por volume, n, é dado por
n = \frac{\rho\,N_{A}}{M},
onde \rho é a densidade de massa (em \mathrm{kg/m^{3}}), N_{A}=6,02\times10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} é o número de Avogadro e M é a massa molar (em \mathrm{kg/mol}).
Como cada átomo libera z elétrons, a densidade de elétrons livres é
\eta = z\,n = \frac{\rho\,N_{A}\,z}{M}.

Passo 3

Para o ouro:
\rho_{\mathrm{Au}} = 19,3\;\mathrm{g/cm^3} = 19,3\times10^{3}\;\mathrm{kg/m^3}, \quad M_{\mathrm{Au}} = 197\;\mathrm{g/mol} = 0,197\;\mathrm{kg/mol}, \quad z=1.
Substituindo em \eta = \dfrac{\rho N_{A}z}{M}:
\eta_{\mathrm{Au}} = \frac{19,3\times10^{3}\times6,02\times10^{23}\times1}{0,197} \approx 5,9\times10^{28}\;\mathrm{elétrons/m^3}.é

Passo 4

Para a prata:
\rho_{\mathrm{Ag}} = 10,5\;\mathrm{g/cm^3} = 10,5\times10^{3}\;\mathrm{kg/m^3}, \quad M_{\mathrm{Ag}} = 107,9\;\mathrm{g/mol} = 0,1079\;\mathrm{kg/mol}, \quad z=1.
Substituindo:
\eta_{\mathrm{Ag}} = \frac{10,5\times10^{3}\times6,02\times10^{23}\times1}{0,1079} \approx 5,86\times10^{28}\;\mathrm{elétrons/m^3}.é

Resposta

(a) \eta_{\mathrm{Au}} = 5,9\times10^{28} elétrons/ m^{3}
(b) \eta_{\mathrm{Ag}} = 5,86\times10^{28} elétrons/ m^{3}

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