Mostre que se a energia livre de Helmholtz F é conhecida como função de V e T, então a entalpia H pode ser escrita:
H=F-T\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V}-V\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T}
E a energia livre de Gibbs G pode ser escrita:
G=F-V\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a entalpia H e a energia livre de Gibbs G em termos da energia livre de Helmholtz F(V,T). O conteúdo aqui é termodinâmica, em particular as definições
F = U - T\,S,\quad H = U + p\,V,\quad G = H - T\,S
e as relações canônicas
S = -\Bigl(\frac{\partial F}{\partial T}\Bigr)_{V},\quad p = -\Bigl(\frac{\partial F}{\partial V}\Bigr)_{T}.
Vamos usar esses pontos para chegar às fórmulas pedidas.

Passo 2

Da definição de F temos
F = U - T\,S
e, portanto,
U = F + T\,S.

Passo 3

Pelas relações termodinâmicas canônicas, sabemos que
S = -\Bigl(\frac{\partial F}{\partial T}\Bigr)_{V} \quad\text{e}\quad p = -\Bigl(\frac{\partial F}{\partial V}\Bigr)_{T}.

Passo 4

Agora escrevemos a entalpia
H = U + p\,V.
Substituindo U = F + T\,S e as expressões de S e p, obtemos
H = \bigl(F + T\,S\bigr) + p\,V = F + T\Bigl[-\Bigl(\frac{\partial F}{\partial T}\Bigr)_{V}\Bigr] + V\Bigl[-\Bigl(\frac{\partial F}{\partial V}\Bigr)_{T}\Bigr]
logo
H = F - T\Bigl(\frac{\partial F}{\partial T}\Bigr)_{V} - V\Bigl(\frac{\partial F}{\partial V}\Bigr)_{T}.

Passo 5

Para a energia livre de Gibbs usamos
G = H - T\,S.
Substituindo H da etapa anterior e S = -(\partial F/\partial T)_{V}, temos
G = \Bigl[F - T(\partial F/\partial T)_{V} - V(\partial F/\partial V)_{T}\Bigr] - T\Bigl[-\Bigl(\frac{\partial F}{\partial T}\Bigr)_{V}\Bigr] = F - V\Bigl(\frac{\partial F}{\partial V}\Bigr)_{T}.

Resposta

H = F - T\Bigl(\frac{\partial F}{\partial T}\Bigr)_{V} - V\Bigl(\frac{\partial F}{\partial V}\Bigr)_{T}, \qquad G = F - V\Bigl(\frac{\partial F}{\partial V}\Bigr)_{T}.

Exercícios relacionados