Considere os primeiros 8 polinômios de Lagrange
- Prove que formam uma base de
.
- Escreva cada um dos seguintes vetores como combinação linear desta base.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado apresenta os polinômios de Legendre
e pede: (1) provar que
é uma base de
; (2) escrever
,
,
e
como combinação linear dessa base. Vamos usar o fato de que
e que
.
Passo 2
Para ver que
é linearmente independente, suponha
O lado esquerdo é um polinômio de grau
; mas o termo de maior grau é
(pois
e não há cancelamento), logo
. Repetindo recursivamente, obtemos
. Assim são independentes.
Passo 3
Como temos
polinômios independentes em
, cuja dimensão também é
, eles formam uma base.
Passo 4
Expressão de
. Da definição de
temos
Passo 5
Expressão de
. De
segue
Passo 6
Expressão de
. Como
e
,
Passo 7
Expressão de
. De
temos
Usando
,
Passo 8
Expressão de
. De
segue
Como
,
Passo 9
Expressão de
. Substituindo as fórmulas de
e
:
Logo
Resposta
- Os
polinômios têm graus distintos de a , são independentes e, como , formam base. - As combinações lineares são