Considere os primeiros 8 polinômios de Lagrange
& P0(x)=1 & P1(x)=x & P2(x)=12(3 x^2-1) & P3(x)=12(5 x^3-3 x) & P4(x)=18(35 x^4-30 x^2+3) & P5(x)=18(63 x^5-70 x^3+15 x)
  1. Prove que formam uma base de Pn(R).
  2. Escreva cada um dos seguintes vetores como combinação linear desta base.
    (a) Q(x)=x^2
    (b) R(x)=x^3
    (c) S(x)=3 x+1
    (d) T(x)=x^4(3 x-2)

Passo 1

O enunciado apresenta os polinômios de Legendre
P0(x)=1,;P1(x)=x,;P2(x)=tfrac12(3x^2-1),;P3(x)=tfrac12(5x^3-3x),;dots,;P5(x)=tfrac18(63x^5-70x^3+15x)
e pede: (1) provar que P0,P1,dots,Pn é uma base de Pn(R); (2) escrever
Q(x)=x^2, R(x)=x^3, S(x)=3x+1 e T(x)=x^4(3x-2) como combinação linear dessa base. Vamos usar o fato de que dimPn=n+1 e que deg Pk=k.

Passo 2

Para ver que P0,dots,Pn é linearmente independente, suponha
a0P0(x)+a1P1(x)+dots+anPn(x);=;0forall x
O lado esquerdo é um polinômio de grau <= n; mas o termo de maior grau é anx^n (pois deg Pn=n e não há cancelamento), logo an=0. Repetindo recursivamente, obtemos an-1=dots=a0=0. Assim são independentes.

Passo 3

Como temos n+1 polinômios independentes em Pn(R), cuja dimensão também é n+1, eles formam uma base.

Passo 4

Expressão de Q(x)=x^2. Da definição de P2 temos
P2(x)=tfrac12(3x^2-1)Longrightarrow 3x^2-1=2P2(x) Longrightarrow x^2=tfrac23P2(x)+tfrac13P0(x)

Passo 5

Expressão de R(x)=x^3. De P3(x)=tfrac12(5x^3-3x) segue
5x^3-3x=2P3(x) Longrightarrow x^3=tfrac25P3(x)+tfrac35x =tfrac25P3(x)+tfrac35P1(x)

Passo 6

Expressão de S(x)=3x+1. Como P1(x)=x e P0(x)=1,
S(x)=3x+1=3P1(x)+P0(x)

Passo 7

Expressão de x^4. De P4(x)=tfrac18(35x^4-30x^2+3) temos
35x^4-30x^2+3=8P4(x) Longrightarrow x^4 =tfrac835P4(x)+tfrac3035x^2-tfrac335
Usando x^2=tfrac23P2+tfrac13P0,
x^4 =tfrac835P4 +tfrac3035l(tfrac23P2+tfrac13P0r) -tfrac335 =tfrac835P4+tfrac47P2+tfrac15P0

Passo 8

Expressão de x^5. De P5(x)=tfrac18(63x^5-70x^3+15x) segue
63x^5-70x^3+15x=8P5(x) Longrightarrow x^5 =tfrac863P5+tfrac7063x^3-tfrac1563x
Como x^3=tfrac25P3+tfrac35P1,
x^5 =tfrac863P5 +tfrac7063l(tfrac25P3+tfrac35P1r) -tfrac1563P1 =tfrac863P5+tfrac49P3+tfrac37P1

Passo 9

Expressão de T(x)=3x^5-2x^4. Substituindo as fórmulas de x^5 e x^4:
T=3l(tfrac863P5+tfrac49P3+tfrac37P1r) -2l(tfrac835P4+tfrac47P2+tfrac15P0r)
Logo
T(x) =tfrac821P5(x)-tfrac1635P4(x)+tfrac43P3(x) -tfrac87P2(x)+tfrac97P1(x)-tfrac25P0(x)

Resposta

  1. Os n+1 polinômios P0,dots,Pn têm graus distintos de 0 a n, são independentes e, como dimPn=n+1, formam base.
  2. As combinações lineares são
    Q(x)=x^2=tfrac23P2(x)+tfrac13P0(x)
    R(x)=x^3=tfrac25P3(x)+tfrac35P1(x)
    S(x)=3x+1=3P1(x)+P0(x)
    T(x)=x^4(3x-2) =tfrac821P5(x)-tfrac1635P4(x) +tfrac43P3(x)-tfrac87P2(x) +tfrac97P1(x)-tfrac25P0(x)

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