Considere os primeiros 8 polinômios de Laguerre
- Prove que formam uma base de
.
- Escreva cada um dos seguintes vetores como combinação linear desta base.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá os primeiros seis polinômios de Laguerre
e pede dois itens:
. Mostrar que
forma base de
.
. Escrever cada um dos polinômios
como combinação linear dessa base.
Conteúdo: teoria de espaços de polinômios, grau, independência linear e mudança de base.
Passo 2
Cada
é um polinômio de grau exato
com coeficiente líder
. Num espaço de dimensão
, ter
polinômios de graus distintos implica independência linear. Logo
é um conjunto de
vetores independentes em
, portanto base.
Passo 3
Expressão de
. Usamos
Daí
Passo 4
Expressão de
. Usamos
logo
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Expressão de
. Já sabemos
, então
Passo 6
Expressão de
. Começamos com
Fazendo as substituições passo a passo e depois trocando
pelas combinações já encontradas, chega\‐se a
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)