Considere os primeiros 8 polinômios de Laguerre
& P0(x)=1 & P1(x)=-x+1 & P2(x)=12(x^2-4 x+2) & P3(x)=16(-x^3+9 x^2-18 x+6) & P4(x)=124(x^4-16 x^3+72 x^2-96 x+24) & P5(x)=1120(-x^5+25 x^4-200 x^3+600 x^2-600 x+120)
  1. Prove que formam uma base de Pn(R).
  2. Escreva cada um dos seguintes vetores como combinação linear desta base.
    (a) Q(x)=x^2
    (b) R(x)=x^3
    (c) S(x)=3 x+1
    (d) T(x)=x^4(3 x-2)

Passo 1

O enunciado nos dá os primeiros seis polinômios de Laguerre
Pk(x), k=0,1,2,3,4,5
e pede dois itens:
1. Mostrar que P0,P1,dots,Pn forma base de Pn( R).
2. Escrever cada um dos polinômios
Q(x)=x^2, R(x)=x^3, S(x)=3x+1, T(x)=x^4(3x-2)
como combinação linear dessa base.
Conteúdo: teoria de espaços de polinômios, grau, independência linear e mudança de base.

Passo 2

Cada Pk(x) é um polinômio de grau exato k com coeficiente líder
(-1)^kk!neq0. Num espaço de dimensão n+1, ter n+1 polinômios de graus distintos implica independência linear. Logo
P0,P1,dots,Pn
é um conjunto de n+1 vetores independentes em Pn( R), portanto base.

Passo 3

Expressão de Q(x)=x^2. Usamos
P2(x)=tfrac12l(x^2-4x+2r), P1(x)=-x+1, P0(x)=1
Daí
x^2=2P2(x)+4x-2 =2P2(x)+4l(-P1(x)+P0(x)r)-2P0(x) =2P2-4P1+2P0

Passo 4

Expressão de R(x)=x^3. Usamos
P3(x)=tfrac16l(-x^3+9x^2-18x+6r),
logo
x^3=9x^2-18x+6-6P3
Substituindo x^2=2P2-4P1+2P0 e x=-P1+P0, obtemos
x^3=-6P3+18P2-18P1+6P0

Passo 5

Expressão de S(x)=3x+1. Já sabemos x=-P1+P0, então
3x+1=3(-P1+P0)+P0=-3P1+4P0

Passo 6

Expressão de T(x)=3x^5-2x^4. Começamos com
P5(x)=tfrac1120l(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120r),
P4(x)=tfrac124l(x^4-16x^3+72x^2-96x+24r)
Fazendo as substituições passo a passo e depois trocando x^3,x^2,x,1 pelas combinações já encontradas, chega\‐se a
T(x)=-360,P5+1752,P4-3408,P3+3312,P2-1608,P1+312,P0

Resposta

(a) Q(x)=2P2-4P1+2P0
(b) R(x)=-6P3+18P2-18P1+6P0
(c) S(x)=-3P1+4P0
(d) T(x)=-360P5+1752P4-3408P3+3312P2-1608P1+312P0

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