Determine uma base para o espaço gerado pelos seguintes conjuntos de vetores.
(b) lv1=(-3,1,5,3,2) v2=(2,3,0,1,0) v3=(1,2,3,2,1) v4=(3,-5,-1,-3,-1) v5=(3,0,1,0,0)

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de R^5 gerado por
v1=(-3,1,5,3,2), v2=(2,3,0,1,0), v3=(1,2,3,2,1), v4=(3,-5,-1,-3,-1), v5=(3,0,1,0,0)
Para isso vamos montar a matriz cujas linhas são esses vetores e usar eliminação de Gauss para descobrir quais linhas (vetores) são linearmente independentes.

Passo 2

Montamos a matriz ;AinR^5times5 com as linhas v1,dots,v5:
A= -3 & 1 & 5 & 3 & 2 2 & 3 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 3 & 2 & 1 3 & -5& -1& -3& -1 3 & 0 & 1 & 0 & 0
Para facilitar o pivô em (1,1) trocamos a linha 1 pela linha 2, obtendo
2 & 3 & 0 & 1 & 0 -3 & 1 & 5 & 3 & 2 1 & 2 & 3 & 2 & 1 3 & -5& -1& -3& -1 3 & 0 & 1 & 0 & 0
Usamos agora o pivô 2 da primeira linha para zerar as entradas abaixo na coluna 1. O resultado é
2 & 3 & 0 & 1 & 0 0 & tfrac112 & 5 & tfrac92 & 2 0 & tfrac12 & 3 & tfrac32 & 1 0 & -tfrac192& -1 & -tfrac92 & -1 0 & -tfrac92 & 1 & -tfrac32 & 0

Passo 3

Agora o pivô é tfrac112 na segunda linha, segunda coluna. Usamos-no para zerar acima e abaixo nessa coluna, chegando a
2 & 0 & -tfrac3011 & -tfrac1611 & -tfrac1211 0 & tfrac112 & 5 & tfrac92 & 2 0 & 0 & tfrac2811 & tfrac1211 & tfrac911 0 & 0 & tfrac8411 & tfrac3611 & tfrac2711 0 & 0 & tfrac5611 & tfrac2411 & tfrac1811

Passo 4

O pivô na terceira linha é tfrac2811. Eliminando abaixo vemos que as linhas 4 e 5 ficam múltiplos da linha 3, ou seja, são dependentes. Concluímos que a matriz tem posto 3, e as três primeiras linhas (após a troca) correspondem originalmente aos vetores
linha 1to v2, linha 2to v1, linha 3to v3
Logo v2,,v1,,v3 é um conjunto de 3 vetores independentes que gera o mesmo subespaço.

Resposta

Uma base para o espaço gerado é
l(2,3,0,1,0),;(-3,1,5,3,2),;(1,2,3,2,1)r

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