Determinar se a matriz dada é diagonalizável:
[ll2 & 0 1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a matriz
A=2 & 0 1 & 2
é diagonalizável. Lembrando que uma matriz ntimes n é diagonalizável se, para cada valor próprio, a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) coincide com a multiplicidade algébrica, de modo a obter n autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det2-lambda & 0 1 & 2-lambda =(2-lambda)^2
Logo o único valor próprio é lambda=2 com multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 3

Determinar o espaço próprio associado a lambda=2, resolvendo
(A-2I)x=0, A-2I=0 & 0 1 & 0
Da primeira linha não surge condição, da segunda segue x1=0 e x2 livre. Assim o autoespaço tem dimensão 1.

Passo 4

Comparando as multiplicidades de lambda=2: algébrica é 2 e geométrica é 1. Como não coincidem, não há dois autovetores independentes e A não pode ser diagonalizada.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

Exercícios relacionados