Considere que a probabilidade de uma companhia não entregar seus produtos no prazo é igual a 18 %. Quais são as probabilidades de que, em três entregas, uma, duas ou todas as três entregas sejam feitas no prazo? Calcular também valor esperado, variância e desvio-padrão do número de entregas no prazo. Resposta: 0,079704|0,363096| 0,551368|E(X) approx 2| Var(x) approx 0,44.

Passo 1

Beleza, o problema diz que a chance de uma entrega NÃO chegar no prazo é de 18 %, ou seja, a de chegar em dia é
p = 1 - 0.18 = 0.82
A gente tem 3 entregas independentes e quer:
  1. Probabilidade de exatamente 1, 2 ou 3 entregas no prazo;
  2. Valor esperado, variância e desvio-padrão do número de entregas no prazo.
    Conteúdo: Distribuição Binomial, combinações, fórmulas de , e .

Passo 2

Define X sim Binomial(n=3,,p=0.82) = número de entregas que chegam no prazo em 3 tentativas.
Como cada entrega “sucesso” tem P(X=k) = binom3k,p^k,(1-p)^3-k, k=0,1,2,3 e são independentes,
A fórmula geral é

Passo 3

Vamos calcular cada caso:
  1. P(X=1) = binom31,(0.82)^1,(0.18)^2 = 3 times 0.82 times 0.18^2 = 3 times 0.82 times 0.0324 = 0.079704 :
P(X=2) = binom32,(0.82)^2,(0.18)^1 = 3 times 0.82^2 times 0.18 = 3 times 0.6724 times 0.18 = 0.363096
  1. P(X=3) = binom33,(0.82)^3,(0.18)^0 = 1 times 0.82^3 = 0.551368 :
  1. :

Passo 4

Agora, as fórmulas clássicas da Binomial:
  • Valor esperado:
    E(X) = n,p = 3 times 0.82 = 2.46
  • Variância:
    Var(X) = n,p,(1-p) = 3 times 0.82 times 0.18 = 0.4428
  • Desvio-padrão:
    sigmaX = raizVar(X) = raiz0.4428approx 0.665

Resposta

P(X=1)=0.079704 | P(X=2)=0.363096 | P(X=3)=0.551368
E(X)=2.46 | Var(X)=0.4428 | Desvio-padrão≈0.665

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