Considere o problema da alocação quadrática com três firmas, i=1,2,3, e três regiões, r=A, B, C. Sem perda de generalidade, suponha que a firma 1 está localizada em A, a 2 está em B e a 3 em C.
i. Encontre as funções lucro das firmas em suas respectivas regiões, considerando os mesmos pressupostos apresentados em aula.
ii. Calcule o incentivo que cada firma teria para mudar sua localização, considerando que as outras pemanecessem onde estão.
iii. A configuração espacial dada é compatível com o sistema competitivo de preços?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe trata da alocação quadrática de três firmas em três regiões diferentes. A gente tem as firmas 1, 2 e 3 localizadas nas regiões A, B e C, respectivamente. O que a gente vai precisar aqui envolve entender funções de lucro das firmas, incentivos para mudar de localização e ver se essa distribuição atual está alinhada com um sistema de preços competitivo. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as funções de lucro para cada firma na sua respectiva região. A função de lucro geralmente considera a receita da firma menos seus custos. No contexto da alocação quadrática, os custos podem incluir, por exemplo, custos de deslocamento ou de produção que variam de forma quadrática.
Vamos supor que a demanda nas regiões dependa da localização das firmas e que o custo total para cada firma seja dado por uma função quadrática em relação à sua localização.
Então, para cada firma i na região r , a função de lucro pii pode ser representada como:
pii = Pi Qi - Ci(Qi)
Onde:
  • Pi é o preço do produto da firma i .
  • Qi é a quantidade vendida.
  • Ci(Qi) é o custo total, que assumimos ser uma função quadrática de Qi , por exemplo, Ci(Qi) = ai Qi^2 + bi Qi + ci .

Passo 3

Agora, vamos calcular o incentivo de cada firma para mudar sua localização, assumindo que as outras firmas permanecem onde estão. Isso envolve analisar como a mudança de localização afetaria os custos e receitas da firma que está considerando mudar.
Vamos supor que a mudança de localização altera a função de custo devido a diferenças em transporte ou acesso ao mercado. Se a firma muda para uma nova região r' , seu novo custo pode ser Ci'(Qi) . O incentivo para mudar é dado pela diferença entre o lucro na nova localização e o lucro na localização atual:
Incentivo = pii' - pii
Se esse valor for positivo, a firma tem incentivo para mudar; se for negativo, não tem.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se a configuração espacial atual das firmas está compatível com um sistema competitivo de preços. Isso significa que nenhuma firma tem incentivo para mudar de localização porque, no equilíbrio, os preços igualam os custos marginais em todas as regiões.
Para isso, precisamos checar se, dado o preço de equilíbrio em cada região, as firmas não conseguem aumentar seu lucro mudando de local. Se isso acontecer, a configuração não está em equilíbrio competitivo.

Resposta

Seguindo esses passos, determinamos as funções de lucro para cada firma, avaliamos os incentivos para mudança de localização e verificamos a compatibilidade com um sistema competitivo de preços. A configuração espacial atual das firmas nas regiões A, B e C está compatível com o sistema competitivo de preços se nenhuma firma tiver incentivo para realocar, ou seja, se os lucros não aumentarem com mudanças de localização.

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