Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
Passo 1
Temos o campo vetorial
. O conteúdo aqui é verificar se um campo em
é conservativo, ou seja, checar se
. Vamos usar derivadas parciais e o critério do rotacional.
Passo 2
Identificamos
,
e
. Calculamos as derivadas parciais relevantes:
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Agora formamos o rotacional:
Passo 7
Passo 8
\nabla\times\mathbf{F}=\bigl(R_y-Q_z\bigr),\mathbf{i}+\bigl(P_z-R_x\bigr),\mathbf{j}+\bigl(Q_x-P_y\bigr),\mathbf{k}.
Passo 9
]
Passo 10
Substituindo,
Passo 11
Passo 12
\nabla\times\mathbf{F}=(0-0),\mathbf{i}+(2e{y+2z}-2),\mathbf{j}+(1-e{y+2z}),\mathbf{k}.
Passo 13
]
Passo 14
Como
e
não são identicamente zero em
, temos
.
Passo 15
Logo, o campo não é conservativo e não existe função potencial associada.
Resposta
O campo vetorial não é conservativo, logo não há função potencial definida em
.