Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
F=e^y+2 z i+x j+2 x k

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z)=e^y+2z,i+x,j+2x,k. O conteúdo aqui é verificar se um campo em R^3 é conservativo, ou seja, checar se nablatimesF=0. Vamos usar derivadas parciais e o critério do rotacional.

Passo 2

Identificamos P(x,y,z)=e^y+2z, Q(x,y,z)=x e R(x,y,z)=2x. Calculamos as derivadas parciais relevantes:

Passo 3

Py=partialpartial ye^y+2z=e^y+2z, Pz=partialpartial ze^y+2z=2e^y+2z,

Passo 4

Qx=partialpartial xx=1, Qz=partialpartial zx=0,

Passo 5

Rx=partialpartial x(2x)=2, Ry=partialpartial y(2x)=0

Passo 6

Agora formamos o rotacional:

Passo 7

Passo 8

\nabla\times\mathbf{F}=\bigl(R_y-Q_z\bigr),\mathbf{i}+\bigl(P_z-R_x\bigr),\mathbf{j}+\bigl(Q_x-P_y\bigr),\mathbf{k}.

Passo 9

]

Passo 10

Substituindo,

Passo 11

Passo 12

\nabla\times\mathbf{F}=(0-0),\mathbf{i}+(2e{y+2z}-2),\mathbf{j}+(1-e{y+2z}),\mathbf{k}.

Passo 13

]

Passo 14

Como 2e^y+2z-2 e 1-e^y+2z não são identicamente zero em R^3, temos nablatimesFneq0.

Passo 15

Logo, o campo não é conservativo e não existe função potencial associada.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, logo não há função potencial definida em R^3.

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