Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
e pede para verificar se
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
. O conteúdo aqui é campo conservativo e função potencial, para o qual precisamos verificar se a região é simplesmente conexa e se vale
Passo 2
Notamos que o domínio natural de
é
, que é aberto e simplesmente conexo. Calculamos
e
Como
em todo o domínio,
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Impondo
, temos
logo
. Integrando,
Resposta
O campo é conservativo em
e uma função potencial é