Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
F=(cos (x)+ln (y)) i+(x / y+e^y) j

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial F=(P,Q) com
P(x,y)=cos(x)+ln(y), Q(x,y)=xy+e^y,
e pede para verificar se F é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y). O conteúdo aqui é campo conservativo e função potencial, para o qual precisamos verificar se a região é simplesmente conexa e se vale
partial Ppartial y=partial Qpartial x

Passo 2

Notamos que o domínio natural de F é (x,y)mid y>0, que é aberto e simplesmente conexo. Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(cos(x)+ln(y)r) =1y,
e
partial Qpartial x =partialpartial xl(xy+e^yr) =1y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo o domínio, F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y), integramos P em relação a x:
phi(x,y) =integrall(cos(x)+ln(y)r),dx =sin(x)+xln(y)+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo partialphi/partial y=Q, temos
partialphipartial y =xy+h'(y) overset!=xy+e^y,
logo h'(y)=e^y. Integrando,
h(y)=integral e^y,dy=e^y+C

Resposta

O campo é conservativo em y>0 e uma função potencial é
phi(x,y)=sin(x)+xln(y)+e^y+C

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