Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
Passo 1
O campo vetorial dado é
. A tarefa é verificar se ele é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial
tal que
. Para isso, vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais
e depois, em caso positivo, integrar para achar
.
Passo 2
Primeiro, observamos que o domínio natural do campo é
(para o termo
e
). Nesse domínio, computamos:
Como
, o campo é conservativo em
.
Passo 3
Agora que sabemos que existe
, usamos
. Integramos em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
como deve valer
, temos
. Integrando em
:
Substituindo de volta, obtemos a forma completa de
.
Resposta
Uma função potencial é
com constante arbitrária
.