Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
F=(x^3+y / x) i+(y^2+ln (x)) j

Passo 1

O campo vetorial dado é F(x,y)=(x^3+tfracyx)i+(y^2+ln(x))j. A tarefa é verificar se ele é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=F. Para isso, vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais partial P/partial y=partial Q/partial x e depois, em caso positivo, integrar para achar phi.

Passo 2

Primeiro, observamos que o domínio natural do campo é x>0 (para o termo ln(x) e 1/x). Nesse domínio, computamos:
partial Ppartial y=partialpartial yl(x^3+yxr)=1x,
partial Qpartial x=partialpartial xl(y^2+ln(x)r)=1x
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo em x>0.

Passo 3

Agora que sabemos que existe phi(x,y), usamos phix=P=x^3+tfracyx. Integramos em relação a x, tratando y como constante:
phi(x,y)=integrall(x^3+yxr),dx=x^44+yln(x)+C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar C(y), diferenciamos phi em relação a y e igualamos a Q:
partialphipartial y=ln(x)+C'(y)
como deve valer phiy=Q=y^2+ln(x), temos C'(y)=y^2. Integrando em y:
C(y)=integral y^2,dy=y^33+constante
Substituindo de volta, obtemos a forma completa de phi.

Resposta

Uma função potencial é
phi(x,y)=x^44+yln(x)+y^33+C,
com constante arbitrária C.

Exercícios relacionados