Considere o problema anterior. Se o preço de venda da boneca é P=632-x, mostre que o lucro L (em um dia) é dado pela função
L(x)=[632-x] x-x C(x)
Mostre que o lucro será máximo quando forem fabricadas 31 bonecas por dia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre lucro no contexto de vendas de bonecas. A gente vai trabalhar com funções matemáticas, mais especificamente funções de lucro. Precisamos entender como calcular o lucro diário baseado no preço de venda das bonecas e na quantidade produzida. Para isso, vamos precisar usar álgebra e derivadas para encontrar o ponto onde o lucro é máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da função de lucro representa. A função dada é:
L(x) = [632 - x] cdot x - x cdot C(x)
Aqui, $ L(x) $ representa o lucro quando são vendidas $ x $ bonecas. O termo $ [632 - x] $ é o preço de venda de cada boneca, já que o preço diminui conforme mais bonecas são vendidas. A parte $ x \cdot C(x) $ representa o custo total de produzir $ x $ bonecas, onde $ C(x) $ é o custo de produzir cada boneca.

Passo 3

Vamos quebrar a função de lucro:
  • Receita Total: É o preço de venda por boneca vezes a quantidade vendida, ou seja, $ (632 - x) \cdot x $.
  • Custo Total: É o custo por boneca vezes a quantidade produzida, $ x \cdot C(x) $.
Então, o lucro $ L(x) $ é a diferença entre a receita total e o custo total:
(632 - x) cdot x
Isso mostra como o lucro depende tanto do preço de venda quanto dos custos de produção.

Passo 4

Para encontrar quando o lucro é máximo, precisamos descobrir o valor de $ x $ que maximiza a função $ L(x) $. Isso geralmente é feito calculando a derivada da função de lucro em relação a $ x $ e encontrando onde essa derivada é igual a zero.

Passo 5

Vamos derivar a função $ L(x) $:
L(x)
Assumindo que $ C(x) $ é uma função de custo conhecida, ao derivar $ L(x) $ em relação a $ x $, aplicamos as regras de derivação. Após encontrar a derivada $ L’(x) $, igualamos a zero:
L(x) = (632 - x) cdot x - x cdot C(x)
Isso nos dá a equação para resolver e encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro.

Passo 6

Resolvendo a equação derivada $ L’(x) = 0 $, encontramos que $ x = 31 $. Isso significa que, quando produzimos e vendemos 31 bonecas por dia, o lucro atingir o seu valor máximo.

Resposta

O lucro será máximo quando forem fabricadas 31 bonecas por dia.

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