Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace
Utilizando esta propriedade mostre:
senat .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da função seno, ou seja,
. Para isso, vamos usar uma propriedade da transformada de Laplace que envolve a derivada de uma função. Além disso, já sabemos a transformada de
, que é
. Então, vamos precisar entender como aplicar a propriedade da derivada e usar a informação que já temos sobre o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a propriedade da transformada de Laplace que envolve a derivada de uma função. A propriedade é a seguinte:
Isso significa que a transformada de Laplace da derivada de
é igual a
vezes a transformada de
menos o valor de
quando
.
Passo 3
Agora, vamos definir a função que vamos usar. Vamos chamar
de:
Queremos encontrar
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Então, a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicando a propriedade da transformada de Laplace que mencionamos no Passo 2:
Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Podemos isolar
dividindo os dois lados por
:
Passo 7
Sabemos a transformada de
que foi dada no enunciado:
Então, multiplicando por
:
Passo 8
Agora, substituindo de volta na equação do Passo 6:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace de
é: