Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace
Lf^prime(t)=s Lf(t)-f(0)
Utilizando esta propriedade mostre:
L senat .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da função seno, ou seja, Lsin(at). Para isso, vamos usar uma propriedade da transformada de Laplace que envolve a derivada de uma função. Além disso, já sabemos a transformada de cos(at), que é ss^2+a^2. Então, vamos precisar entender como aplicar a propriedade da derivada e usar a informação que já temos sobre o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a propriedade da transformada de Laplace que envolve a derivada de uma função. A propriedade é a seguinte:
Lf^prime(t) = s Lf(t) - f(0)
Isso significa que a transformada de Laplace da derivada de f(t) é igual a s vezes a transformada de f(t) menos o valor de f(t) quando t = 0.

Passo 3

Agora, vamos definir a função que vamos usar. Vamos chamar f(t) de:
f(t) = sin(at)
Queremos encontrar Lf(t), ou seja, Lsin(at).

Passo 4

Vamos derivar f(t) em relação a t:
f^prime(t) = ddt sin(at) = a cos(at)
Então, a derivada de f(t) é a cos(at).

Passo 5

Aplicando a propriedade da transformada de Laplace que mencionamos no Passo 2:
Lf^prime(t) = s Lf(t) - f(0)
Substituindo f(t) e f^prime(t):
La cos(at) = s Lsin(at) - sin(a cdot 0)
Sabemos que sin(0) = 0, então:
La cos(at) = s Lsin(at)

Passo 6

Podemos isolar Lsin(at) dividindo os dois lados por s:
Lsin(at) = La cos(at)s

Passo 7

Sabemos a transformada de cos(at) que foi dada no enunciado:
Lcos(at) = ss^2 + a^2
Então, multiplicando por a:
La cos(at) = a cdot ss^2 + a^2 = a ss^2 + a^2

Passo 8

Agora, substituindo de volta na equação do Passo 6:
Lsin(at) = a ss^2 + a^2s = a ss (s^2 + a^2) = as^2 + a^2

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de sin(at) é:
Lsin(at) = as^2 + a^2

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