Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado para aproximar a integral. Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.
integral0^pi / 4 tg x d x, n=4

Passo 1

O enunciado pede aproximar
integral0^pi/4tan x,dx
usando a Regra do Ponto Médio com n=4.
O conteúdo aqui é integração numérica pelo ponto médio: dividimos o intervalo em n subintervalos iguais, avaliamos a função no ponto médio de cada um e somamos multiplicando pela largura de cada subintervalo.

Passo 2

O intervalo [0,pi/4] é dividido em n=4 partes de mesmo comprimento h:
h=pi/4-04=pi16

Passo 3

Os pontos médios de cada subintervalo são
xi^*=xi-1+xi2=l(i-tfrac12r)h, i=1,2,3,4,
isto é
x1^*=pi32,; x2^*=3pi32,; x3^*=5pi32,; x4^*=7pi32
A fórmula da Regra do Ponto Médio fica
M4 =;hsumi=1^4tanl(xi^*r) =pi16l[tanl(tfracpi32r) +tanl(tfrac3pi32r) +tanl(tfrac5pi32r) +tanl(tfrac7pi32r)r]

Passo 4

Agora calculamos cada tan(xi^*) (valores aproximados):
tanl(tfracpi32r)approx0.09849, tanl(tfrac3pi32r)approx0.30334,
tanl(tfrac5pi32r)approx0.53451, tanl(tfrac7pi32r)approx0.81972
Somando esses valores:
0.09849+0.30334+0.53451+0.81972approx1.75606

Passo 5

Multiplicamos pela largura h=pi/16approx0.19635:
M4approx0.19635times1.75606approx0.3448
arredondado a quatro casas decimais.

Resposta

A aproximação pelo ponto médio com n=4 é
boxed0.3448

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