Considere o problema de calcular uma aproximação para a raiz quadrada de um número m positivo.
(b) Escreva a fórmula do método de Newton para encontrar a raiz de f(x).

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente usar o método de Newton pra aproximar a raiz quadrada de um número positivo xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn) . Isso faz parte de Cálculo Numérico ou Métodos Iterativos.
O que vamos precisar:
  1. Definir uma função cujo zero seja a raiz que queremos.
  2. Conhecer a fórmula geral do método de Newton:

Passo 2

  1. Escolhemos a função
f(x) ;=; x^2 ;-; m
Por quê? Porque se f'(x) ;=; 2x xn+1 ;=; xn ;-;xn^2 - m2xn , ou seja, xn+1 =; xn ;-;xn^2 - m2xn =; 2xn^2 - (xn^2 - m)2xn =;xn^2 + m2xn =;xn + mxn2 .
  1. Calculamos a derivada dessa função:
  1. Substituímos e na fórmula do Newton:
  1. Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

A fórmula iterativa do método de Newton para aproximar boxed,xn+1 ;=; xn + tfracmxn2, é:

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