Considere o problema de calcular integral duplaR integral0^raiz1-x^2-y^2 4 raiz1-x^2-y^2 d z d x d y5, R é a parte do plano xy interior da circunferência unitária em que y não é negativo.
b) Calcule o valor exato da integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla sobre a região R , que é a parte do plano xy dentro da circunferência unitária x^2 + y^2 <= 1 onde y não é negativo (ou seja, y >= 0 ). A integral que temos é:
integral duplaR integral0^raiz1 - x^2 - y^2 4 raiz1 - x^2 - y^2 , dz , dx , dy5
Vamos precisar de conhecimentos sobre integrais múltiplas, especialmente em coordenadas polares, já que estamos lidando com uma região circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral. Temos uma integral tripla onde z varia de 0 até raiz1 - x^2 - y^2 . Isso indica que estamos inteirando dentro de uma esfera de raio 1, mas só na parte superior (já que z é positivo).

Passo 3

A integral está dividida por 5 e multiplicada por 4 raiz1 - x^2 - y^2 . Podemos simplificar isso para:
45 integral duplaR raiz1 - x^2 - y^2 ( integral0^raiz1 - x^2 - y^2 dz ) dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em z . A integral de dz de 0 até raiz1 - x^2 - y^2 é simplesmente:
integral0^raiz1 - x^2 - y^2 dz = raiz1 - x^2 - y^2

Passo 5

Substituindo essa solução na integral original, temos:
45 integral duplaR raiz1 - x^2 - y^2 times raiz1 - x^2 - y^2 , dx , dy = 45 integral duplaR (1 - x^2 - y^2) , dx , dy

Passo 6

Agora, vamos converter a integral dupla para coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta . O elemento de área dx , dy vira r , dr , dtheta . A região R em polares fica de r = 0 a r = 1 e de theta = 0 a theta = pi (já que y >= 0 ).

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
45 integral0^pi integral0^1 (1 - r^2) , r , dr , dtheta
Simplificando:
45 integral0^pi integral0^1 (r - r^3) , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em r :
integral0^1 (r - r^3) , dr = [ r^22 - r^44 ]0^1 = ( 12 - 14 ) - (0 - 0) = 14

Passo 9

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
45 integral0^pi 14 , dtheta = 45 times 14 integral0^pi dtheta = 15 times pi = pi5

Resposta

O valor exato da integral é pi5 .

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