Considere o problema de calcular
, R é a parte do plano xy interior da circunferência unitária em que y não é negativo.
b) Calcule o valor exato da integral.
b) Calcule o valor exato da integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla sobre a região
, que é a parte do plano
dentro da circunferência unitária
onde
não é negativo (ou seja,
). A integral que temos é:
Vamos precisar de conhecimentos sobre integrais múltiplas, especialmente em coordenadas polares, já que estamos lidando com uma região circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral. Temos uma integral tripla onde
varia de 0 até
. Isso indica que estamos inteirando dentro de uma esfera de raio 1, mas só na parte superior (já que
é positivo).
Passo 3
A integral está dividida por 5 e multiplicada por
. Podemos simplificar isso para:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em
. A integral de
de 0 até
é simplesmente:
Passo 5
Substituindo essa solução na integral original, temos:
Passo 6
Agora, vamos converter a integral dupla para coordenadas polares, onde
e
. O elemento de área
vira
. A região
em polares fica de
a
e de
a
(já que
).
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Simplificando:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 9
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Resposta
O valor exato da integral é
.