Estudar e desenhar a superfície z=log (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar e desenhar a superfície ,z=log(x^2+y^2). O conteúdo é geometria de superfícies em R^3. Para isso vamos identificar: domínio e imagem, simetrias, curvas de nível, seções em planos coordenados e, por fim, descrever o formato geral para esboçar a superfície.

Passo 2

O domínio é o conjunto de pontos (x,y)in R^2 onde o argumento do logaritmo é positivo, ou seja
D=(x,y)mid x^2+y^2>0,
isto é, todo o plano menos a origem. A imagem de z é R, pois conforme r=raizx^2+y^2 tende a 0^+ temos z=2log rto -infty e conforme rto+infty temos zto+infty.

Passo 3

A função é invariante por rotações ao redor do eixo z, pois depende apenas de r^2=x^2+y^2. Ela também é par em x e em y. Essas simetrias indicam que a superfície é de revolução em torno do eixo z.

Passo 4

As curvas de nível são obtidas impondo z=c, ou seja
log(x^2+y^2)=c Longrightarrow x^2+y^2=e^c
Elas são círculos de raio raize^c no plano z=c. À medida que c cresce, os círculos crescem exponencialmente.

Passo 5

Vejamos seções em planos coordenados. Em y=0 temos
z(x,0)=log(x^2)=2log|x|,
que é uma curva que desce para -infty quando xto0 e cresce lentamente para +infty quando |x|toinfty. O mesmo perfil aparece em x=0.

Passo 6

As derivadas parciais são
partial zpartial x =2xx^2+y^2, partial zpartial y =2yx^2+y^2
Não há pontos críticos no domínio, pois ambas só se anulam simultaneamente em (0,0), que não pertence ao domínio.

Passo 7

Juntando tudo, a superfície é um “funil logarítmico” de revolução: muito íngreme perto da origem (tendendo a -infty) e crescendo sem limite para cima, mas de forma cada vez mais suave conforme r aumenta.

Resposta

O esboço é uma superfície de revolução em torno do eixo z definida por z=2ln r com perfil que desce a -infty em rto0 e cresce a +infty em rtoinfty. As curvas de nível são círculos x^2+y^2=e^c em cada plano z=c.

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