Estudar e desenhar a superfície
Passo 1
O enunciado nos pede para estudar e desenhar a superfície
. O conteúdo é geometria de superfícies em
. Para isso vamos identificar: domínio e imagem, simetrias, curvas de nível, seções em planos coordenados e, por fim, descrever o formato geral para esboçar a superfície.
Passo 2
O domínio é o conjunto de pontos
onde o argumento do logaritmo é positivo, ou seja
isto é, todo o plano menos a origem. A imagem de
é
, pois conforme
tende a
temos
e conforme
temos
.
Passo 3
A função é invariante por rotações ao redor do eixo
, pois depende apenas de
. Ela também é par em
e em
. Essas simetrias indicam que a superfície é de revolução em torno do eixo
.
Passo 4
As curvas de nível são obtidas impondo
, ou seja
Elas são círculos de raio
no plano
. À medida que
cresce, os círculos crescem exponencialmente.
Passo 5
Vejamos seções em planos coordenados. Em
temos
que é uma curva que desce para
quando
e cresce lentamente para
quando
. O mesmo perfil aparece em
.
Passo 6
As derivadas parciais são
Não há pontos críticos no domínio, pois ambas só se anulam simultaneamente em
, que não pertence ao domínio.
Passo 7
Juntando tudo, a superfície é um “funil logarítmico” de revolução: muito íngreme perto da origem (tendendo a
) e crescendo sem limite para cima, mas de forma cada vez mais suave conforme
aumenta.
Resposta
O esboço é uma superfície de revolução em torno do eixo
definida por
com perfil que desce a
em
e cresce a
em
. As curvas de nível são círculos
em cada plano
.