Optou-se pela mudança de variável x=u+v, y=2 v e z=3 w para resolver a integral: integral0^3 integral0^4 integraly2^1+y2 f(x, y, z) d x d y d z, onde f(x, y)=2 x-y2+z3, determine:
a) A expressão da integral em relação às novas variáveis.

Passo 1

Vamos resolver uma integral múltipla utilizando a mudança de variável. A integral original é:
integral0^3 integral0^4 integraly2^1+y2 ( 2x - y2 + z3 ) dx , dy , dz
As novas variáveis são definidas por:
x = u + v, y = 2v, z = 3w
Para resolver a integral na nova coordenada, precisamos aplicar a mudança de variável, que envolve calcular o determinante jacobiano e expressar os limites de integração em termos das novas variáveis.

Passo 2

Primeiro, identificamos as novas variáveis em função das antigas:
x = u + v
y = 2v
z = 3w
Queremos expressar u , v , e w em termos de x , y , e z :
u = x - v (mas $ v = y/2 $), então u = x - y2 ã
w = z3

Passo 3

Agora, calculamos o determinante jacobiano da transformação. O jacobiano J é a matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas:
J = partial upartial x & partial upartial y & partial upartial z partial vpartial x & partial vpartial y & partial vpartial z partial wpartial x & partial wpartial y & partial wpartial z = 1 & -12 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 13
O determinante do jacobiano é:
det(J) = 1 times ( 12 times 13 - 0 times 0 ) - ( -12 times 0 - 0 times 13 ) + 0 = 16

Passo 4

Substituímos as variáveis na função integral f(x, y, z) :
f(x, y, z) = 2x - y2 + z3 = 2(u + v) - 2v2 + 3w3 = 2u + 2v - 2v2 + w = u + w

Passo 5

Agora, determinamos os novos limites de integração em termos de u , v e w :
Dados que:
y = 2v Rightarrow v in [0, 2]
z = 3w Rightarrow w in [0, 1]
x = u + v Rightarrow x in [y2, 1 + y2] = [v, 1 + v] Rightarrow u in [0, 1]

Passo 6

Finalmente, reescrevemos a integral original em termos das novas variáveis, incluindo o determinante jacobiano:
integralw=0^1 integralv=0^2 integralu=0^1 (u + w) times | 16 | , du , dv , dw
Simplificando, já que o jacobiano é positivo:
16 integral0^1 integral0^2 integral0^1 (u + w) , du , dv , dw

Resposta

A expressão da integral em relação às novas variáveis é:
16 integral0^1 integral0^2 integral0^1 (u + w) , du , dv , dw

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