Optou-se pela mudança de variável para resolver a integral: , onde , determine:
a) A expressão da integral em relação às novas variáveis.
Passo 1
Vamos resolver uma integral múltipla utilizando a mudança de variável. A integral original é:
As novas variáveis são definidas por:
Para resolver a integral na nova coordenada, precisamos aplicar a mudança de variável, que envolve calcular o determinante jacobiano e expressar os limites de integração em termos das novas variáveis.
Passo 2
Primeiro, identificamos as novas variáveis em função das antigas:
Queremos expressar , , e em termos de , , e :
Passo 3
Agora, calculamos o determinante jacobiano da transformação. O jacobiano é a matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas:
O determinante do jacobiano é:
det(J) = 1 times ( 12 times 13 - 0 times 0 ) - ( -12 times 0 - 0 times 13 ) + 0 = 16
Passo 4
Substituímos as variáveis na função integral f(x, y, z) :
f(x, y, z) = 2x - y2 + z3 = 2(u + v) - 2v2 + 3w3 = 2u + 2v - 2v2 + w = u + w
Passo 5
Agora, determinamos os novos limites de integração em termos de u , v e w :
Dados que:
y = 2v Rightarrow v in [0, 2]
z = 3w Rightarrow w in [0, 1]
x = u + v Rightarrow x in [y2, 1 + y2] = [v, 1 + v] Rightarrow u in [0, 1]
Passo 6
Finalmente, reescrevemos a integral original em termos das novas variáveis, incluindo o determinante jacobiano:
integralw=0^1 integralv=0^2 integralu=0^1 (u + w) times | 16 | , du , dv , dw
Simplificando, já que o jacobiano é positivo:
16 integral0^1 integral0^2 integral0^1 (u + w) , du , dv , dw
Resposta
A expressão da integral em relação às novas variáveis é:
16 integral0^1 integral0^2 integral0^1 (u + w) , du , dv , dw