Estudar e desenhar a superfície 4 z=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar e desenhar a superfície dada por
4,z = x^2 + y^2
O conteúdo é superfícies quadráticas (quadric surfaces), mais precisamente um paraboloide elíptico. Para isso vamos:
– escrever em forma explícita z=f(x,y),
– identificar domínio, imagem e vértice,
– achar interceptos, curvas de nível e seções planas,
– descrever o esboço da figura.

Passo 2

Colocando em forma canônica, dividimos por 4:
z = x^2 + y^24
Esta é a equação de um paraboloide elíptico com concavidade para cima e eixo de simetria ao longo do eixo z.

Passo 3

Domínio: como não há restrição em x e y,
Domínio = R^2 í
Imagem: x^2+y^2>=0 implica
z = x^2+y^24>=0,
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Ima>=m = [0,infty)

Passo 4

O vértice é o ponto de menor z. Como x^2+y^2=0 só em (0,0), temos
vértice = (0,0,0) é
Intercepto com o eixo z: em x=0,y=0 (0,0,0). Não há outros interceptos com os eixos x ou y no plano z=0, pois isso exigiria x^2+y^2=0.

Passo 5

Curvas de nível: fixando z=c>=0, a equação vira
x^2 + y^2 = 4c,
que são círculos de raio 2raizc no plano z=c.

Passo 6

Seções planas:
– Para y=0:
z = x^24,
uma parábola no plano y=0.
– Para x=0:
z = y^24,
outra parábola no plano x=0.
Em qualquer plano vertical que contenha o eixo z, a interseção é parábola de concavidade para cima.

Passo 7

Esboço da superfície: desenhe círculos concêntricos de raio crescente em alturas z=c. A medida que z aumenta, o raio cresce como 2raizz. Pelas seções verticais, passe parábolas com vértice em (0,0,0). O resultado é um “bowl” aberto para cima.

Resposta

É um paraboloide elíptico de equação
z = x^2 + y^24,
com vértice em (0,0,0), domínio R^2 e imagem [0,infty). As curvas de nível são círculos de raio 2raizc em z=c, e as seções planas verticais são parábolas z=x^2/4 ou z=y^2/4.

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