Estudar e desenhar a superfície
Passo 1
O enunciado pede para estudar e desenhar a superfície dada por
O conteúdo é superfícies quadráticas (quadric surfaces), mais precisamente um paraboloide elíptico. Para isso vamos:
– escrever em forma explícita ,
– identificar domínio, imagem e vértice,
– achar interceptos, curvas de nível e seções planas,
– descrever o esboço da figura.
– escrever em forma explícita
– identificar domínio, imagem e vértice,
– achar interceptos, curvas de nível e seções planas,
– descrever o esboço da figura.
Passo 2
Colocando em forma canônica, dividimos por 4:
Esta é a equação de um paraboloide elíptico com concavidade para cima e eixo de simetria ao longo do eixo
.
Passo 3
Domínio: como não há restrição em
e
,
Imagem:
implica
logo
Passo 4
O vértice é o ponto de menor
. Como
só em
, temos
Intercepto com o eixo
: em
dá
. Não há outros interceptos com os eixos
ou
no plano
, pois isso exigiria
.
Passo 5
Curvas de nível: fixando
, a equação vira
que são círculos de raio
no plano
.
Passo 6
Seções planas:
– Para :
– Para
uma parábola no plano
.
– Para :
– Para
outra parábola no plano
.
Em qualquer plano vertical que contenha o eixo , a interseção é parábola de concavidade para cima.
Em qualquer plano vertical que contenha o eixo
Passo 7
Esboço da superfície: desenhe círculos concêntricos de raio crescente em alturas
. A medida que
aumenta, o raio cresce como
. Pelas seções verticais, passe parábolas com vértice em
. O resultado é um “bowl” aberto para cima.
Resposta
É um paraboloide elíptico de equação
com vértice em
, domínio
e imagem
. As curvas de nível são círculos de raio
em
, e as seções planas verticais são parábolas
ou
.