1. Considere o problema do calor ao longo de uma barra delgada de comprimento L, de modo que variações de temperatura sobre cada seç̧ão transversal seja negligenciadas. Admita que exista uma fonte de calor a uma taxa
    constante q>0 e de modo uniforme ao longo da barra. Neste caso, podemos mostrar a temperatura solução u(x, t) satisfaz a E D P
ut(x, t)=k ux x(x, t)+q, t>0 e 0<x<L
Dadas as condições inicias e de contorno
u(x, 0) & =f(x), 0 <= x <= L u(0, t) & =0=u(L, t), t >= 0
mostre que a solução do problema é dada por
u(x, t) & =q xk(L-x)+sumn=1^infty betan sen(n pi xL) e^-K n^2 pi^2L^2 t betan & =2L integral0^L(q xk(L-x)+f(x)) sen(n pi xL) d x
Observação: Procure a solução como soma de uma solução em regime estacionário v(x) mais uma solução transiente u(x, t). Ou seja, solução y(x, t) da forma
y(x, t)=u(x, t)+v(x)

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor não-homogênea
ut(x,t)=k,uxx(x,t)+q, 0<x<L,;t>0
com condições
u(0,t)=0,;u(L,t)=0, u(x,0)=f(x)
O método é decompor
u(x,t)=v(x)+w(x,t)
onde v(x) é a solução em regime estacionário e w(x,t) é a parte transiente que satisfaz uma EDP homogênea e condições homogêneas de contorno.

Passo 2

Determinamos v(x) resolvendo
k,v''(x)+q=0, v(0)=0,;v(L)=0
Integrando duas vezes:
v''(x)=-qk, v'(x)=-qk,x+C1, v(x)=-q2k,x^2+C1x+C2
Impondo v(0)=0Rightarrow C2=0 e v(L)=0Rightarrow -tfracq2kL^2+C1L=0, obtemos
C1=q,L2k, v(x)=q2kl(Lx - x^2r) =q2k,x,(L - x)

Passo 3

Defina
w(x,t)=u(x,t)-v(x)
Então
wt=ut, wxx=uxx-v'',
e substituindo na EDP original:
wt =kl(wxx+v''r)+q =k,wxx+l(k,v''+qr) =k,wxx,
porque k,v''+q=0. As condições em w são
w(0,t)=u(0,t)-v(0)=0, w(L,t)=0,
e a condição inicial
w(x,0)=u(x,0)-v(x)=f(x)-q2k,x(L-x)
Logo w satisfaz a equação do calor homogênea com contorno zero.

Passo 4

Como w(0,t)=w(L,t)=0, expandimos em série de senos:
w(x,t) =sumn=1^inftyan,sinl(tfracnpi xLr) exp!l(-k,tfracn^2pi^2L^2,tr)
Em t=0 deve valer
sumn=1^inftyan,sinl(tfracnpi xLr) =f(x)-q2k,x(L-x)
Pelo ortogonalidade dos senos,
an =2Lintegral0^L l(f(x)-q2kx(L-x)r), sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 5

Recombinando u(x,t)=v(x)+w(x,t) e renomeando antobetan, obtemos
u(x,t) =q2k,x(L-x) +sumn=1^inftybetan, sinl(tfracnpi xLr) exp!l(-k,tfracn^2pi^2L^2,tr),
betan =2Lintegral0^L l(f(x)-q2k,x(L-x)r) sinl(tfracnpi xLr),dx

Resposta

u(x,t) =q2k,x(L-x) +sumn=1^inftybetan sin!l(tfracnpi xLr) e^-,k,tfracn^2pi^2L^2,t, betan =2Lintegral0^L l(f(x)-q2kx(L-x)r) sin!l(tfracnpi xLr),dx

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