- Considere o problema do calor ao longo de uma barra delgada de comprimento
, de modo que variações de temperatura sobre cada seç̧ão transversal seja negligenciadas. Admita que exista uma fonte de calor a uma taxa
constante
e de modo uniforme ao longo da barra. Neste caso, podemos mostrar a temperatura solução
satisfaz a
Dadas as condições inicias e de contorno
mostre que a solução do problema é dada por
Observação: Procure a solução como soma de uma solução em regime estacionário
mais uma solução transiente
. Ou seja, solução
da forma
constante
Passo 1
O enunciado trata da equação do calor não-homogênea
com condições
O método é decompor
onde
é a solução em regime estacionário e
é a parte transiente que satisfaz uma EDP homogênea e condições homogêneas de contorno.
Passo 2
Determinamos
resolvendo
Integrando duas vezes:
Impondo
e
, obtemos
Passo 3
Defina
Então
e substituindo na EDP original:
porque
. As condições em
são
e a condição inicial
Logo
satisfaz a equação do calor homogênea com contorno zero.
Passo 4
Como
, expandimos em série de senos:
Em
deve valer
Pelo ortogonalidade dos senos,
Passo 5
Recombinando
e renomeando
, obtemos