(Ufmg) Uma fábrica de automóveis determina que se deva produzir x unidades em uma semana. O custo dessa produção (em real) é dado por C(x)=6 x^2+1100 x+1000. O dinheiro recebido pela venda das x unidades (em real) é dado por M(x)=3 x^2+1700 x. Quantos carros devem ser fabricados, em uma semana, para que o lucro seja máximo?
a) 200
b) 100
c) 600
d) 1000
e) 300

Passo 1

O enunciado dá o custo de produzir x carros em uma semana
C(x)=6x^2+1100x+1000
e a receita obtida pela venda desses x carros
M(x)=3x^2+1700x
Queremos maximizar o lucro, que é a diferença entre receita e custo. O conteúdo envolvido é otimização de função quadrática (encontrar o vértice de uma parábola).

Passo 2

Definimos a função lucro
P(x)=M(x)-C(x)
Substituindo, temos
P(x)=l(3x^2+1700xr)-l(6x^2+1100x+1000r) =-3x^2+600x-1000

Passo 3

Note que P(x) é uma parábola com coeficiente de x^2 negativo ( -3), logo ela tem um máximo. Podemos achar esse máximo calculando a derivada e igualando a zero:
P'(x)=ddxl(-3x^2+600x-1000r)=-6x+600

Passo 4

Para encontrar o ponto crítico, resolvemos
P'(x)=0 Longrightarrow -6x+600=0 Longrightarrow x=100
Esse é o valor de x que maximiza o lucro.

Resposta

b) 100

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