Considere o problema de Cauchy y^prime=3 raiz[3]y^2, y(1)=0. Mostre que y(x)=(x-1)^3 e y2(x)=0 são soluções do problema. Isto contradiz o T.E.U.? Justifique. Pode encontrar outra solução? [Resp: outra solução é y(x)=x^3 para x<0 e y(x)=0 para x>=0. Não contradiz o teorema pois a função f(x, y)=3 raiz[3]y^2 não satisfaz as hipóteses em nenhuma região que contém (x0, y0)=(1,0)].

Passo 1

O enunciado é o problema de Cauchy
y'=3,raiz[3]y^2, y(1)=0
Queremos mostrar que
y1(x)=(x-1)^3 e y2(x)=0
são soluções, explicar por que isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) e ainda exibir uma terceira solução diferente.

Passo 2

Verifico que y1(x)=(x-1)^3 satisfaz a EDO e a condição inicial.
  1. Derivada de y1:
y1'(x)=3,(x-1)^2
  1. O lado direito da EDO em y1 é
3,raiz[3]l(y1(x)r)^2 =3,raiz[3](x-1)^6 =3,(x-1)^2
Logo y1'(x)=3,(x-1)^2=3,raiz[3](y1)^2.
3. Condição inicial: y1(1)=(1-1)^3=0.

Passo 3

Verifico que y2(x)=0 também é solução.
  1. Derivada de y2: y2'(x)=0.
  2. No lado direito da EDO, para y2=0, temos
3,raiz[3]0^2=0
  1. E obviamente y2(1)=0.

Passo 4

Explico por que não há contradição com o TEU.
O TEU exige que f(y)=3,raiz[3]y^2 seja Lipschitz em y perto de y=0. Mas
partial fpartial y =3cdot23,y^-1/3 =2,y^-1/3,
que explode quando yto0. Logo f não é Lipschitz em nenhuma vizinhança de (1,0) e o TEU não garante unicidade.

Passo 5

Exibimos outra solução construindo um “colar” das duas anteriores em
Para ; para vale porque é igual a ; em é contínua e tem derivada lateral nula de ambos os lados, então satisfaz a EDO ali também.

Resposta

As soluções
y1(x)=(x-1)^3, y2(x)=0
mostram não unicidade. Isso não contradiz o TEU pois f(y)=3raiz[3]y^2 não é Lipschitz em y=0. Outra solução é
y3(x)= (x-1)^3,&x<1, 0,&x>=1

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