Considere o problema de Cauchy
. Mostre que
são soluções do problema. Isto contradiz o T.E.U.? Justifique. Pode encontrar outra solução? [Resp: outra solução é
para
e
para
. Não contradiz o teorema pois a função
não satisfaz as hipóteses em nenhuma região que contém
.
Passo 1
O enunciado é o problema de Cauchy
Queremos mostrar que
são soluções, explicar por que isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) e ainda exibir uma terceira solução diferente.
Passo 2
Verifico que
satisfaz a EDO e a condição inicial.
- Derivada de
:
- O lado direito da EDO em
é
Logo
.
3. Condição inicial: .
3. Condição inicial:
Passo 3
Verifico que
também é solução.
- Derivada de
: . - No lado direito da EDO, para
, temos
- E obviamente
.
Passo 4
Explico por que não há contradição com o TEU.
O TEU exige que seja Lipschitz em
perto de
. Mas
O TEU exige que
que explode quando
. Logo
não é Lipschitz em nenhuma vizinhança de
e o TEU não garante unicidade.
Passo 5
Exibimos outra solução construindo um “colar” das duas anteriores em
Para ; para
vale porque é igual a
; em
é contínua e tem derivada lateral nula de ambos os lados, então satisfaz a EDO ali também.
Resposta
As soluções
mostram não unicidade. Isso não contradiz o TEU pois
não é Lipschitz em
. Outra solução é