Derive em relação à variável dada:
f(x)=ln (x ln x);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=lnl(xln xr)
Em termos de conteúdo, vamos usar a propriedade dos logaritmos ln(ab)=ln a+ln b e, em seguida, as regras de derivação de ln x e de função composta (regra da cadeia).

Passo 2

Aplicando ln(ab)=ln a+ln b com a=x e b=ln x, reescrevemos
f(x)=ln x + lnl(ln xr)

Passo 3

Derivamos termo a termo:
  • ddx[ln x]=1x.
  • Para ddx[ln(ln x)], usamos regra da cadeia: a derivada de ln u é tfrac1u,u', com u=ln x e u'=tfrac1x. Logo
ddxl[ln(ln x)r] =1ln xcdot1x =1x,ln x

Passo 4

Somando as duas parcelas temos
f'(x) =1x+1x,ln x =ln x + 1x,ln x

Resposta

f'(x)=ln x + 1x,ln x

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