A reta normal a uma curva C em um ponto (p, f(p)) da curva é a reta que passa por (p, f(p)) e é perpendicular à reta tangente à curva C em (p, f(p)).
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva y=x raizx no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva y = xraizx no ponto (1,1). O conteúdo principal é cálculo de derivada (para achar a inclinação da tangente) e ideia de reta normal (que tem inclinação negativa recíproca da tangente).

Passo 2

Primeiro escrevemos a função de modo mais simples:
y = xraizx = x^3/2
Aplicamos a regra de potência para derivar:
y' = ddxl(x^3/2r) = 32,x^1/2

Passo 3

Para encontrar a inclinação da tangente em x=1, avaliamos y' em x=1:
mtan = y'(1) = 32,raiz1 = 32

Passo 4

Com a inclinação da tangente e o ponto (1,1), usamos a forma-ponto-inclinação:
y - 1 = 32,(x - 1)
Em forma explícita,
y = 32x - 32 + 1 = 32x - 12

Passo 5

A reta normal tem inclinação negativa recíproca de mtan, ou seja
mnorm = -1mtan = -23
Usando novamente a forma-ponto-inclinação em (1,1):
y - 1 = -23,(x - 1)
Na forma explícita,
y = -23x + 23 + 1 = -23x + 53

Resposta

Reta tangente:
y - 1 = 32(x - 1) Long<=ftrightarrow y = 32x - 12
Reta normal:
y - 1 = -23(x - 1) Long<=ftrightarrow y = -23x + 53

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