Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
Considere também as seguintes condições de contorno:
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A)
(B)
Determine a solução
do problema com:
CC: III e CI: A
(A)
(B)
CC: III e CI: A
Passo 1
O enunciado trata da equação do calor
com condições de contorno do tipo Neumann homogêneo (III)
e condição inicial (A)
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier cosseno para problemas de Neumann.
Passo 2
Em problemas de Neumann homogêneo no intervalo
, os autofunções do operador espacial
são
e a solução geral por separação de variáveis fica
Cada coeficiente
vem da condição inicial.
Passo 3
A condição inicial é
. Na série de Fourier cosseno em
,
porque
.
Passo 4
Substituindo
e
em toda a série, obtemos