Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
100 u_{x x}=u_{t}, \quad 0<x<1, t>0 .
Considere também as seguintes condições de contorno:
\begin{aligned} & \text { (I) }\left\{\begin{array}{l} u(0, t)=0 \\\ u(1, t)=0\end{array}\right. \\\ & \text { (II) }\left\{\begin{array}{l} u(0, t)=50 \\\ u(1, t)=80\end{array}\right. \\\ & \text { (III) }\left\{\begin{array}{l}u_{x}(0, t)=0 \\\ u_{x}(1, t)=0\end{array}\right. \end{aligned}
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A) \{u(x, 0)=10
(B) \{u(x, 0)=x
Determine a solução u(x, t) do problema com:
CC: III e CI: A

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor
100\,u_{xx}=u_{t},\quad 0<x<1,\\ t>0,
com condições de contorno do tipo Neumann homogêneo (III)
\begin{cases} u_{x}(0,t)=0,\\\ u_{x}(1,t)=0, \end{cases}
e condição inicial (A)
u(x,0)=10.
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier cosseno para problemas de Neumann.

Passo 2

Em problemas de Neumann homogêneo no intervalo [0,1], os autofunções do operador espacial -\frac{d^{2}}{dx^{2}} são
\cos(n\pi x),\quad n=0,1,2,\dots
e a solução geral por separação de variáveis fica
u(x,t) =\frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\,e^{-100\,(n\pi)^{2}t}\,\cos(n\pi x).
Cada coeficiente a_{n} vem da condição inicial.

Passo 3

A condição inicial é u(x,0)=10. Na série de Fourier cosseno em [0,1],
a_{0}=2\int_{0}^{1}10\,dx=20,
a_{n}=2\int_{0}^{1}10\cos(n\pi x)\,dx =\frac{20\sin(n\pi)}{n\pi}=0\quad(\forall n\ge1),
porque \sin(n\pi)=0.

Passo 4

Substituindo a_{0}=20 e a_{n}=0 em toda a série, obtemos
u(x,t) =\frac{20}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}0\cdot e^{-100(n\pi)^{2}t}\cos(n\pi x) =10.

Resposta

u(x,t)=10.

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