Resolva as seguintes EDOs por séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede a resolução da EDO
em torno de
por séries de potências. O conteúdo é o método de séries de potências: vamos supor
e achar uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Escrevemos as derivadas da série:
Passo 3
Substituímos em
:
Passo 4
Alinhamos tudo em potências de
. No termo com
fazemos
, obtendo
Como
a condição de anulação dos coeficientes de
é
ou seja
Passo 5
Usamos a recorrência separando os ramos par e ímpar.
Ramo par
:
e daí todos os
para
.
Ramo ímpar
:
e daí todos os
para
.
Logo as séries são polinômios de grau 2 e 3:
Resposta
A solução geral é
com
constantes arbitrárias.