Resolva as seguintes EDOs por séries de potências:
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0 \quad, \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede a resolução da EDO
(1+x^{2})y'' - 4x\,y' +6y = 0
em torno de x_{0}=0 por séries de potências. O conteúdo é o método de séries de potências: vamos supor
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
e achar uma relação de recorrência entre os coeficientes a_{n}.

Passo 2

Escrevemos as derivadas da série:
y'=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1},\quad y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{n-2}.

Passo 3

Substituímos em (1+x^{2})y'' -4x\,y' +6y=0:
(1+x^{2})\,y'' = \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} +\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n},
-4x\,y' = -4\sum_{n=1}^\infty n\,a_{n}x^{n},\quad 6y = 6\sum_{n=0}^\infty a_{n}x^{n}.

Passo 4

Alinhamos tudo em potências de x^{m}. No termo com x^{n-2} fazemos m=n-2, obtendo
\sum_{m=0}^\infty (m+2)(m+1)a_{m+2}x^{m} +\sum_{m=0}^\infty\bigl[m(m-1)-4m+6\bigr]a_{m}x^{m}=0.
Como
m(m-1)-4m+6 = m^{2}-5m+6=(m-2)(m-3),
a condição de anulação dos coeficientes de x^{m} é
(m+2)(m+1)\,a_{m+2} + (m-2)(m-3)\,a_{m} = 0,
ou seja
a_{m+2} = -\frac{(m-2)(m-3)}{(m+2)(m+1)}\,a_{m},\quad m\ge0.

Passo 5

Usamos a recorrência separando os ramos par e ímpar.
Ramo par m=0,2,4,\dots: m=0\implies a_{2}=-\tfrac{(0-2)(0-3)}{2\cdot1}a_{0}=-3a_{0}. m=2\implies a_{4}=-\tfrac{(2-2)(2-3)}{4\cdot3}a_{2}=0, e daí todos os a_{2k+2}=0 para k\ge2.
Ramo ímpar m=1,3,5,\dots: m=1\implies a_{3}=-\tfrac{(1-2)(1-3)}{3\cdot2}a_{1}=-\tfrac{1}{3}a_{1}. m=3\implies a_{5}=-\tfrac{(3-2)(3-3)}{5\cdot4}a_{3}=0, e daí todos os a_{2k+3}=0 para k\ge2.
Logo as séries são polinômios de grau 2 e 3:
y_{\text{par}}=a_{0}\bigl(1 -3x^{2}\bigr),\quad y_{\text{ímpar}}=a_{1}\Bigl(x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr).í

Resposta

A solução geral é
y = C_{1}\,(1 - 3x^{2}) \;+\; C_{2}\,\Bigl(x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

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