Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento
, que obedece à equação:
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I)
(II)
(III)
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A)
(B)
(C)
Determine a solução
do problema para:
Condições Iniciais I e C
(I)
(II)
(III)
(A)
(B)
(C)
Condições Iniciais I e C
Passo 1
O problema é a equação de onda
em
, com condições de contorno
, velocidade de propagação
e condições iniciais
Vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a solução em série de senos (autofunções que satisfazem as condições de contorno).
Passo 2
A forma geral da solução em série é
onde os modos são
de modo que
zera em
e
.
Passo 3
Impondo
obtemos
Passo 4
Para encontrar
, derivamos a série em
e usamos
:
Multiplicamos ambos os lados por
e integramos de 0 a 2, usando ortogonalidade:
Logo
Calculamos a integral:
Como
e
,
Passo 5
Note que
se
é par e
se
é ímpar. Para
(ímpares),
enquanto
. Assim a solução fica restrita aos modos ímpares.