Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento L=2, que obedece à equação:
9 u_{x x}=u_{t t}
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I) u(x, 0)=0
(II) u(x, 0)=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{2}\right)
(III) u(x, 0)=x
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A) u_{t}(x, 0)=0
(B) u_{t}(x, 0)=-\operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi x}{2}\right)
(C) u_{t}(x, 0)=1
Determine a solução u(x, t) do problema para:
Condições Iniciais I e C

Passo 1

O problema é a equação de onda
9\,u_{xx}=u_{tt}
em 0<x<2, com condições de contorno u(0,t)=u(2,t)=0, velocidade de propagação c=\sqrt{9}=3 e condições iniciais
u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=1.
Vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a solução em série de senos (autofunções que satisfazem as condições de contorno).

Passo 2

A forma geral da solução em série é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(c\lambda_n t)+B_n\sin(c\lambda_n t)\Bigr)\sin(\lambda_n x),
onde os modos são
\lambda_n=\frac{n\pi}{2},\qquad n=1,2,\dots
de modo que \sin(\lambda_n x) zera em x=0 e x=2.

Passo 3

Impondo u(x,0)=0 obtemos
u(x,0) =\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(\lambda_n x)=0 \quad\Longrightarrow\quad A_n=0\quad\forall n.

Passo 4

Para encontrar B_n, derivamos a série em t e usamos u_t(x,0)=1:
u_t(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,c\lambda_n\cos(c\lambda_n t)\,\sin(\lambda_n x) \;\Longrightarrow\; u_t(x,0) =\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,c\lambda_n\sin(\lambda_n x)=1.
Multiplicamos ambos os lados por \sin(\lambda_m x) e integramos de 0 a 2, usando ortogonalidade:
\int_{0}^{2}1\cdot\sin(\lambda_m x)\,dx =B_m\,c\lambda_m\int_{0}^{2}\sin^2(\lambda_m x)\,dx =\;B_m\;c\lambda_m\;\frac{2}{2}\;=\;B_m\;c\lambda_m.
Logo
B_m =\frac{1}{c\lambda_m}\int_{0}^{2}\sin\bigl(\tfrac{m\pi x}{2}\bigr)\,dx.
Calculamos a integral:
\int_{0}^{2}\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{2}\bigr)\,dx =\frac{2}{m\pi}\bigl(1-(-1)^m\bigr).
Como c=3 e \lambda_m=m\pi/2,
B_m =\frac{1}{3\,(m\pi/2)}\;\frac{2}{m\pi}\bigl(1-(-1)^m\bigr) =\frac{4}{3\pi^2\,m^2}\,\bigl(1-(-1)^m\bigr).

Passo 5

Note que 1-(-1)^m=0 se m é par e =2 se m é ímpar. Para m=2k-1 (ímpares),
B_{2k-1} =\frac{4}{3\pi^2\,(2k-1)^2}\;2 =\frac{8}{3\pi^2\,(2k-1)^2},
enquanto B_{2k}=0. Assim a solução fica restrita aos modos ímpares.

Resposta

u(x,t) =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{3\pi^2\,(2k-1)^2} \;\sin\!\Bigl(\frac{(2k-1)\pi x}{2}\Bigr)\; \sin\!\Bigl(\frac{3(2k-1)\pi t}{2}\Bigr).

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