Resolva as seguintes EDOs por séries de potências:
\left(2+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+4 y=0 \quad, \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva, em torno de x_{0}=0, a equação diferencial
\bigl(2 + x^2\bigr)\,y'' - x\,y' + 4\,y = 0
usando séries de potências. Vamos assumir uma solução da forma
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,x^{n},
calcular y' e y'', inserir na EDO, igualar coeficientes de cada potência de x e obter uma relação de recorrência para os a_{n}.

Passo 2

Calculemos as derivadas da série:
y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\,a_{n}\,x^{n-1}, \qquad y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,a_{n}\,x^{n-2}.
Então
(2 + x^2)\,y'' = 2\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2} + \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n},
-\,x\,y' = -\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}\,x^{n}, \qquad 4\,y = 4\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n}.

Passo 3

Ajustamos índices para combinar tudo em potências x^{m} com m\ge0. No primeiro termo fazemos m=n-2, obtendo
2\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)a_{m+2}x^{m} +\sum_{m=2}^{\infty}m(m-1)a_{m}x^{m} -\sum_{m=1}^{\infty}m\,a_{m}x^{m} +4\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m}=0.
Como as somas valem zero para cada m, somamos os coeficientes de x^{m}.

Passo 4

Para m\ge0 obtemos a condição
2(m+2)(m+1)\,a_{m+2} +\bigl[m(m-1)-m+4\bigr]\,a_{m} =0.
Note que m(m-1)-m = m^2-2m, então
2(m+2)(m+1)\,a_{m+2} + (m^2-2m+4)\,a_{m} = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_{m+2} = -\frac{m^2-2m+4}{2\,(m+2)(m+1)}\,a_{m}.

Passo 5

Como a_{m+2} se relaciona com a_{m}, temos duas séries independentes:
  • Série par: parte com a_{0} livre e a_{2},a_{4},\dots - Série ímpar: parte com a_{1} livre e a_{3},a_{5},\dots Calculemos alguns termos:
  1. Para a parte par m=0,2,4,\dots:
a_{2} = -\frac{0^2-0+4}{2\cdot2\cdot1}\,a_{0} = -a_{0}, \quad a_{4} = -\frac{2^2-4+4}{2\cdot4\cdot3}\,a_{2} = -\frac{4}{24}(-a_{0}) = \frac{a_{0}}{6}, \;\dots
Logo
y_{1}(x) = a_{0}\Bigl(1 - x^2 + \tfrac{1}{6}x^4 + \cdots\Bigr).
  1. Para a parte ímpar m=1,3,5,\dots:
a_{3} = -\frac{1^2-2+4}{2\cdot3\cdot2}\,a_{1} = -\frac{3}{12}\,a_{1} = -\tfrac{1}{4}a_{1}, \quad a_{5} = -\frac{3^2-6+4}{2\cdot5\cdot4}\,a_{3} = -\frac{7}{40}\bigl(-\tfrac{1}{4}a_{1}\bigr) = \tfrac{7}{160}a_{1}, \;\dots
Logo
y_{2}(x) = a_{1}\Bigl(x - \tfrac{1}{4}x^3 + \tfrac{7}{160}x^5 + \cdots\Bigr).

Passo 6

A solução geral fica como combinação linear das duas séries independentes:
y(x) = C_{1}\,y_{1}(x) + C_{2}\,y_{2}(x),
onde y_{1} é a série par e y_{2} é a série ímpar acima, e C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

A relação de recorrência é
a_{m+2} = -\frac{m^{2} - 2m + 4}{2\,(m+2)(m+1)}\,a_{m},
e a solução geral em séries de potências centradas em x_{0}=0 é
\boxed{ y(x) = C_{1}\Bigl(1 - x^{2} + \tfrac{1}{6}x^{4} - \cdots\Bigr) + C_{2}\Bigl(x - \tfrac{1}{4}x^{3} + \tfrac{7}{160}x^{5} - \cdots\Bigr). }

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