Resolva as seguintes EDOs por séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva, em torno de
, a equação diferencial
usando séries de potências. Vamos assumir uma solução da forma
calcular
e
, inserir na EDO, igualar coeficientes de cada potência de
e obter uma relação de recorrência para os
.
Passo 2
Calculemos as derivadas da série:
Então
Passo 3
Ajustamos índices para combinar tudo em potências
com
. No primeiro termo fazemos
, obtendo
Como as somas valem zero para cada
, somamos os coeficientes de
.
Passo 4
Para
obtemos a condição
Note que
, então
Passo 5
Como
se relaciona com
, temos duas séries independentes:
- Série par: parte com
livre e - Série ímpar: parte com livre e Calculemos alguns termos:
- Para a parte par
:
Logo
- Para a parte ímpar
:
Logo
Passo 6
A solução geral fica como combinação linear das duas séries independentes:
onde
é a série par e
é a série ímpar acima, e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A relação de recorrência é
e a solução geral em séries de potências centradas em
é