Utilize o Teorema da Convolução para encontrar a Transformada Inversa de Laplace de cada uma das seguintes funções:
F(s)=2s^3(s-2)

Passo 1

A questão pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=2s^3(s-2). O conteúdo aqui é o Teorema da Convolução, que diz que, se temos duas transformadas G(s) e H(s), então L^-1G(s)H(s)=(g*h)(t)=integral0^t g(tau)h(t-tau),dtau. Vamos usar isso junto com propriedades conhecidas de transformada de potências de s e de deslocamento no eixo s.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Convolução, escrevemos
F(s)=2cdot1s^3cdot1s-2
Identificamos então:
G(s)=1/s^3 com g(t)=L^-11/s^3=t^2/2 (pois Lt^n-1=(n-1)!s^n) e
H(s)=1/(s-2) com h(t)=e^2t.

Passo 3

Pela convolução, a inversa de F(s) é
f(t)=2,(g*h)(t)=2integral0^t tau^22;e^2(t-tau),dtau =e^2tintegral0^t tau^2 e^-2tau,dtau

Passo 4

Agora calculamos
I(t)=integral0^t tau^2 e^-2tau,dtau
Fazendo integração por partes duas vezes ou usando a forma reduzida de integral de polinômio vezes exponencial, obtemos
I(t)=-e^-2tl(t^22+t2+14r)+14

Passo 5

Substituindo em f(t) e simplificando:
f(t)=e^2tl[-e^-2tl(t^22+t2+14r)+14r] =-l(t^22+t2+14r)+14e^2t

Passo 6

Portanto, a transformada inversa de Laplace desejada é dada pela expressão abaixo.
f(t)=-l(t^22+t2+14r)+14e^2t

Resposta

f(t)=14e^2t-12t^2-12t-14, t>=0

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