Encontre a solução do problema de condução do calor dado pela equação diferencial parcial
4 ux x=ut
para 0<x<1 e t>0, com condições de contorno u(0, t)=0, u(1, t)=0 para t>0 e a condição inicial f(x)=u(x, 0) definida pela função
f(x)=3 sen(2 pi x)-2 sen(3 pi x)+7 sen(5 pi x), 0 <= x <= 1

Passo 1

O problema é a equação de calor
ut = 4,uxx, 0<x<1,;t>0
com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0, u(1,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=f(x)=3sin(2pi x)-2sin(3pi x)+7sin(5pi x)
O método usado será separação de variáveis, que leva a séries em senos.

Passo 2

Assumimos solução da forma u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em ut=4uxx e dividindo por XT
T'4T = X''X = -lambda
A parte espacial satisfaz
X'' + lambda X = 0, X(0)=0,;X(1)=0,
cuja família de autovalores e autovetores é
lambdan = n^2pi^2, Xn(x)=sin(npi x), n=1,2,3,dots

Passo 3

Para cada n, a parte temporal satisfaz
Tn' + 4lambdan,Tn = 0 Longrightarrow Tn(t)=Cn,e^-4lambdan t = Cn,e^-4n^2pi^2 t

Passo 4

A solução geral é
u(x,t)=sumn=1^inftyAn,sin(npi x),e^-4n^2pi^2 t
Impondo u(x,0)=f(x) temos
f(x)=sumn=1^inftyAnsin(npi x)
Como
;f(x)=3sin(2pi x)-2sin(3pi x)+7sin(5pi x),
comparamos termos de sin(npi x) e obtemos
A2=3, A3=-2, A5=7, An=0 para nneq2,3,5

Passo 5

Logo a solução do problema é
u(x,t) =3sin(2pi x),e^-4,(2pi)^2 t -2sin(3pi x),e^-4,(3pi)^2 t +7sin(5pi x),e^-4,(5pi)^2 t

Resposta

boxed u(x,t) =3sin(2pi x)e^-16pi^2 t -2sin(3pi x)e^-36pi^2 t +7sin(5pi x)e^-100pi^2 t

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