Considere o problema de condução unidimensional transiente em uma chapa plana cuja equação diferencial é dada por:
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}
Empregue o método de separação de variáveis para obter a solução da equação diferencial onde a chapa de espessura L é mantida nas temperaturas igual a zero em \mathrm{x}=\bullet 0 e \mathrm{x}=\mathrm{L} e a distribuição inicial de temperatura é dada por: T(x, t=0)=T_{0} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{L}\right), onde T_{0} é uma constante.

Passo 1

O enunciado trata do problema de condução unidimensional transiente numa chapa de espessura L, governado pela equação
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}
com condições de contorno homogêneas
T(0,t)=0,\quad T(L,t)=0
e condição inicial
T(x,0)=T_{0}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\pi x}{L}\Bigr).
Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar T(x,t).

Passo 2

Assumimos solução do tipo
T(x,t)=X(x)\,G(t).
Substituindo na equação de difusão e dividindo por \alpha\,X\,G obtemos
\frac{1}{\alpha}\,\frac{G'(t)}{G(t)} \;=\; \frac{X''(x)}{X(x)} \;=\;-\,\lambda,
onde \lambda é constante de separação.

Passo 3

A parte espacial satisfaz
X''(x)+\lambda\,X(x)=0,
com X(0)=0 e X(L)=0. As soluções não-triviais exigem
\lambda_{n}=\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\quad X_{n}(x)=\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr),\quad n=1,2,\dots.

Passo 4

A parte temporal obedece
G'(t) + \alpha\,\lambda\,G(t)=0
cuja solução é
G_{n}(t)=C_{n}\,\exp\!\Bigl[-\alpha\,\lambda_{n}\,t\Bigr] =C_{n}\,\exp\!\Bigl[-\alpha\,(n\pi/L)^{2}\,t\Bigr].

Passo 5

A solução geral é série de modos:
T(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\, \exp\!\Bigl[-\alpha\,(n\pi/L)^{2}\,t\Bigr].
Impondo T(x,0)=T_{0}\operatorname{sen}(\pi x/L) vemos que só o termo n=1 aparece, logo
A_{1}=T_{0},\quad A_{n}=0\;(n\ge2).

Resposta

T(x,t)=T_{0}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\pi x}{L}\Bigr)\, \exp\!\Bigl[-\alpha\,\bigl(\tfrac{\pi}{L}\bigr)^{2}\,t\Bigr].

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