Obtenha a solução geral do sistema não homogêneo dada por x^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 4 & 1\end{array}\right] x+\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -1\end{array}\right] e^{t}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o sistema não homogêneo de EDOs lineares
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x} + \mathbf{b}\,e^{t},
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt] 4 & 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}2 \\[3pt] -1\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar a solução geral, ou seja, a soma da solução geral do sistema homogêneo e de uma solução particular.]

Passo 2

Primeiro tratamos o sistema homogêneo
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x}.
Calculamos os autovalores de A via
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\[3pt] 4 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0.
As raízes são \lambda_1=3 e \lambda_2=-1.
Para \lambda_1=3, resolvemos (A-3I)\mathbf{v}=0, obtendo o autovetor \mathbf{v}_1=(1,2)^T.
Para \lambda_2=-1, resolvemos (A+I)\mathbf{v}=0, obtendo o autovetor \mathbf{v}_2=(1,-2)^T.
Logo a solução geral homogênea é
\mathbf{x}_h(t) = C_1 \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} e^{3t} + C_2 \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} e^{-t}.]

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular do tipo \mathbf{x}_p(t)=\mathbf{u}\,e^{t}\), com \(\mathbf{u}\) constante. Substituindo em \(\mathbf{x}'=A\,\mathbf{x}+\mathbf{b}e^t\), vem \[\mathbf{u}\,e^t = A(\mathbf{u}\,e^t) + \mathbf{b}\,e^t \quad\Longrightarrow\quad (I - A)\,\mathbf{u} = \mathbf{b}.
Calculamos
I - A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[3pt] -4 & 0\end{pmatrix},
logo o sistema (I-A)\mathbf{u}=\mathbf{b} é
\begin{cases} -\,u_2 = 2,\\[3pt] -\,4\,u_1 = -1, \end{cases}
dando u_2=-2\] e \(u_1=\tfrac14. Assim
\mathbf{x}_p(t) = \begin{pmatrix}\tfrac14\\[3pt]-2\end{pmatrix} e^{t}.]

Passo 4

A solução geral do sistema não homogêneo é a soma da parte homogênea com a particular, isto é,
\mathbf{x}(t) = C_1 \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} e^{3t} + C_2 \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} e^{-t} + \begin{pmatrix}\tfrac14\\[3pt]-2\end{pmatrix} e^{t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

\boxed{ \mathbf{x}(t) = C_1 \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} e^{3t} + C_2 \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} e^{-t} + \begin{pmatrix}\tfrac14\\[3pt]-2\end{pmatrix} e^{t}. }]

Exercícios relacionados