Obtenha a solução geral do sistema não homogêneo dada por x^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 4 & 1\end{array}\right] x+\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -1\end{array}\right] e^{t}.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o sistema não homogêneo de EDOs lineares
As raízes são \lambda_1=3 e \lambda_2=-1.
Para \lambda_1=3, resolvemos (A-3I)\mathbf{v}=0, obtendo o autovetor \mathbf{v}_1=(1,2)^T.
Para \lambda_2=-1, resolvemos (A+I)\mathbf{v}=0, obtendo o autovetor \mathbf{v}_2=(1,-2)^T.
Logo a solução geral homogênea é
Agora buscamos uma solução particular do tipo \mathbf{x}_p(t)=\mathbf{u}\,e^{t}\), com \(\mathbf{u}\) constante. Substituindo em \(\mathbf{x}'=A\,\mathbf{x}+\mathbf{b}e^t\), vem
\[\mathbf{u}\,e^t = A(\mathbf{u}\,e^t) + \mathbf{b}\,e^t \quad\Longrightarrow\quad (I - A)\,\mathbf{u} = \mathbf{b}.
Calculamos
I - A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[3pt] -4 & 0\end{pmatrix},