Use o método de separação de variáveis para resolver a seguinte EDP com valores de contorno.
\begin{cases}x^{2} u_{x x}+2 x u_{x}=u_{y y} & x \in[1, a], \quad y \in[0, b] \\\ u(x, 0)=0, \quad u(x, b)=0 & \\\ u(1, y)=0, \quad u(a, y)=b-y & \end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a EDP
x^{2}u_{xx}+2x\,u_{x}=u_{yy},\quad x\in[1,a],\;y\in[0,b],
com as fronteiras
u(x,0)=0,\quad u(x,b)=0,\quad u(1,y)=0,\quad u(a,y)=b-y.
O conteúdo envolve separar as variáveis x e y, obter duas EDOs (uma em x e outra em y), aplicar condições de contorno para achar valores próprios em y e, em seguida, resolver a equação de Euler em x.

Passo 2

Suponha
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na EDP e dividindo por X Y obtém-se
\frac{x^{2}X''+2xX'}{X} \;=\;\frac{Y''}{Y} \;=\;-\,\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Assim surgem as duas EDOs:
x^{2}X''+2xX'+\lambda X=0,
Y''+\lambda Y=0.

Passo 3

Pelas condições Y(0)=0 e Y(b)=0, a EDO em y é um problema de Sturm–Liouville com solução não-trivial somente para
\lambda_{n}=\Bigl(\frac{n\pi}{b}\Bigr)^{2},\quad n=1,2,3,\dots
e autofunções
Y_{n}(y)=\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\Bigr).

Passo 4

A EDO em x
x^{2}X''+2xX'+\lambda_{n}X=0
é uma equação de Euler. Buscamos X=x^{r}, o que leva a
r(r-1)+2r+\lambda_{n}=0\quad\Longrightarrow\quad r^{2}+r+\lambda_{n}=0.
As raízes são
r=-\tfrac12\pm i\,\mu_{n},\quad \mu_{n}=\sqrt{\lambda_{n}-\tfrac14}=\sqrt{\Bigl(\tfrac{n\pi}{b}\Bigr)^{2}-\tfrac14}.
Logo a solução geral é
X_{n}(x)=x^{-\tfrac12}\bigl[C_{1}\cos(\mu_{n}\ln x)+C_{2}\sin(\mu_{n}\ln x)\bigr].
Como u(1,y)=0 para todo y, temos X_{n}(1)=0. Mas \ln1=0 e 1^{-1/2}=1, então C_{1}=0. Assim
X_{n}(x)=C_{n}\,x^{-\tfrac12}\sin\!\bigl(\mu_{n}\ln x\bigr).

Passo 5

A solução geral por separação é a soma das modalidades:
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\,x^{-\tfrac12}\sin\!\bigl(\mu_{n}\ln x\bigr)\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\Bigr).

Passo 6

Impondo u(a,y)=b-y, expandimos b-y na base \{\sin(n\pi y/b)\}:
b-y=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\Bigr),
com
B_{n}=\frac{2}{b}\int_{0}^{b}(b-y)\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\Bigr)\,dy =\frac{2b}{n\pi}.

Passo 7

Da igualdade em x=a:
\sum_{n=1}^{\infty} C_{n}\,a^{-\tfrac12}\sin\!\bigl(\mu_{n}\ln a\bigr)\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty} B_{n}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\Bigr).
Logo, para cada n,
C_{n}\,a^{-\tfrac12}\sin\!\bigl(\mu_{n}\ln a\bigr)=B_{n} \quad\Longrightarrow\quad C_{n}=\frac{B_{n}\,a^{\tfrac12}}{\sin\!\bigl(\mu_{n}\ln a\bigr)} =\frac{2b\,a^{\tfrac12}}{n\pi\,\sin\!\bigl(\mu_{n}\ln a\bigr)}.

Passo 8

Reunindo tudo, a solução final é
u(x,y) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2b\,a^{\tfrac12}}{n\pi\,\sin\!\bigl(\mu_{n}\ln a\bigr)} \,x^{-\tfrac12}\sin\!\bigl(\mu_{n}\ln x\bigr) \,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\Bigr),
onde
\mu_{n}=\sqrt{\Bigl(\tfrac{n\pi}{b}\Bigr)^{2}-\tfrac14}.

Resposta

u(x,y) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2b\,a^{\tfrac12}}{n\pi\,\sin\!\bigl(\mu_{n}\ln a\bigr)} \,x^{-\tfrac12}\sin\!\bigl(\mu_{n}\ln x\bigr) \,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\Bigr), \quad \mu_{n}=\sqrt{\Bigl(\tfrac{n\pi}{b}\Bigr)^{2}-\tfrac14}.

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