Use o método de separação de variáveis para resolver a seguinte EDP com valores de contorno.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a EDP
com as fronteiras
O conteúdo envolve separar as variáveis
e
, obter duas EDOs (uma em
e outra em
), aplicar condições de contorno para achar valores próprios em
e, em seguida, resolver a equação de Euler em
.
Passo 2
Suponha
Substituindo na EDP e dividindo por
obtém-se
onde
é constante de separação. Assim surgem as duas EDOs:
Passo 3
Pelas condições
e
, a EDO em
é um problema de Sturm–Liouville com solução não-trivial somente para
e autofunções
Passo 4
A EDO em
é uma equação de Euler. Buscamos
, o que leva a
As raízes são
Logo a solução geral é
Como
para todo
, temos
. Mas
e
, então
. Assim
Passo 5
A solução geral por separação é a soma das modalidades:
Passo 6
Impondo
, expandimos
na base
:
com
Passo 7
Da igualdade em
:
Logo, para cada
,
Passo 8
Reunindo tudo, a solução final é
onde