Encontre a série de Fourier da extensão periódica impar de
f(y)=b-y \quad y \in[0, b]

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da extensão periódica ímpar de período 2b da função
f(y)=b-y,\quad 0\le y\le b.
Como estamos fazendo extensão ímpar, a série terá apenas termos em seno.

Passo 2

Para uma extensão ímpar de período 2b usamos a forma de série em senos em [0,b]:
f(y)\sim \sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\Bigl(\frac{n\pi y}{b}\Bigr),
onde
B_n=\frac{2}{b}\int_{0}^{b}f(y)\,\sin\Bigl(\frac{n\pi y}{b}\Bigr)\,dy.

Passo 3

Substituindo f(y)=b-y em B_n temos
B_n=\frac{2}{b}\int_{0}^{b}(b-y)\,\sin\Bigl(\frac{n\pi y}{b}\Bigr)\,dy.
Para calcular essa integral, use integração por partes com \displaystyle u=b-y,\;dv=\sin\bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\bigr)dy.

Passo 4

Fazendo a integração por partes obtemos
\int_{0}^{b}(b-y)\sin\Bigl(\frac{n\pi y}{b}\Bigr)dy =\frac{b^2}{n\pi},
portanto
B_n=\frac{2}{b}\,\frac{b^2}{n\pi}=\frac{2b}{n\pi}.

Passo 5

Substituindo os coeficientes na série em senos, concluímos que a expansão de Fourier desejada é
f(y)\sim\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2b}{n\pi}\,\sin\Bigl(\frac{n\pi y}{b}\Bigr).

Resposta

f(y)\sim\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2b}{n\pi}\,\sin\Bigl(\frac{n\pi y}{b}\Bigr).

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