Considere o problema de se determinar a distância de
ao paraboloide
de equação
, cujo gráfico está ilustrado abaixo. Nesse sentido, seja
o quadrado da distância de
a um ponto
de
e, se necessário, use a fatoração
.
a) Obtenha a expressão da função
e verifique que
não possui ponto de máximo em
. Resposta:
, como
é claro que
não tem máximo.
b) Calcule as derivadas parciais de
.
Resposta:
e
.
c) Calcule os pontos críticos de
.
Resposta: Fazendo
vê-se que
e portanto
. Substituindo, temos que
0 é equivalente a
que tem uma única raiz real. O único ponto crítico é
. A distância é
.
d) Pode-se mostrar que
possui um ponto de mínimo. Use essa informação para determinar a distância de
a
.
Resposta: O ponto de mínimo é um ponto crítico. Como só há um ponto crítico, ele só pode ser o ponto de mínimo.
e) Mostre que, se
é um ponto crítico de
e
, então o vetor
é ortogonal a
no ponto
.
Resposta: O vetor normal a
em
é
e em
ele vale
que é paralelo ao vetor
.
a) Obtenha a expressão da função
b) Calcule as derivadas parciais de
c) Calcule os pontos críticos de
d) Pode-se mostrar que
Resposta: O ponto de mínimo é um ponto crítico. Como só há um ponto crítico, ele só pode ser o ponto de mínimo.
e) Mostre que, se
Resposta: O vetor normal a
Passo 1
O problema é: dado P₀=(1,1,0) e o paraboloide ℙ de equação z=x²+y², queremos achar a distância de P₀ a um ponto qualquer P=(x,y,x²+y²) de ℙ. Isso é otimização em duas variáveis. Vamos:
• Definir f(x,y)=dist²(P₀,P).
• Mostrar que f não tem máximo (cresce até +∞).
• Calcular ∂f/∂x e ∂f/∂y.
• Achar os pontos críticos (onde as duas derivadas vão a zero).
• Ver que há só um ponto crítico, logo é mínimo global, e daí tirar a distância.
• Mostrar que o vetor P₀P é ortogonal à superfície nesse ponto.
• Definir f(x,y)=dist²(P₀,P).
• Mostrar que f não tem máximo (cresce até +∞).
• Calcular ∂f/∂x e ∂f/∂y.
• Achar os pontos críticos (onde as duas derivadas vão a zero).
• Ver que há só um ponto crítico, logo é mínimo global, e daí tirar a distância.
• Mostrar que o vetor P₀P é ortogonal à superfície nesse ponto.
Passo 2
Construindo f:
dist²(P₀,P)= (x–1)² + (y–1)² + (z–0)², mas z=x²+y².
Logo
Para ver que não há máximo, note que, por exemplo, se fixo x=0 e y→+∞,
Então não existe ponto de máximo.
dist²(P₀,P)= (x–1)² + (y–1)² + (z–0)², mas z=x²+y².
Logo
Para ver que não há máximo, note que, por exemplo, se fixo x=0 e y→+∞,
Então não existe ponto de máximo.
Passo 3
Agora as derivadas parciais (regra da cadeia e derivada de potências):
Passo 4
Procuramos pontos críticos com f_x=0 e f_y=0:
-
⇒ com ⇒ - De modo análogo
Logo⇒ x=y.
Substituindo x=y em f_x=0:
Fatorando
, só sobra a raiz real
.
Logo único ponto crítico em .
Logo único ponto crítico em
Passo 5
Como f(x,y)→+∞ quando ‖(x,y)‖→∞ e há só um ponto crítico, ele é mínimo global.
A distância mínima é
A distância mínima é
Passo 6
Para ver a ortogonalidade, o vetor normal ao paraboloide z=x²+y² em (x,y) é
No ponto crítico (½,½) temos
.
O vetor P₀P₁, com P₁=(½,½,½), é
O vetor P₀P₁, com P₁=(½,½,½), é
que é paralelo a (-1,-1,1). Logo P₀P₁ ⟂ ℙ em P₁.
Resposta
Função:
.
Derivadas: ,
.
Ponto crítico único: .
Distância mínima:
O vetor P₀P₁ é ortogonal ao paraboloide em P₁.
Derivadas:
Ponto crítico único:
Distância mínima:
O vetor P₀P₁ é ortogonal ao paraboloide em P₁.