Resolva as seguintes equações diferenciais. Soluções implícitas são suficientes. Justifique sua resposta (não use fórmulas prontas, mas execute os passos necessários para chegar à solução)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para resolver a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem porque envolve
e sua primeira derivada
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de álgebra para isolar
e, em seguida, integrar para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar a derivada de
em relação a
de
, ou seja:
Substituindo
por
na equação original, temos:
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma relação entre
e
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia para diferenciar:
Sabemos que
, então podemos escrever:
Passo 4
Vamos simplificar a equação obtida:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1:
Isso significa que
é constante. Vamos chamar essa constante de
. Então:
Substituindo de volta na equação
:
Caso 2:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, com
em termos de
, podemos encontrar
substituindo
de volta na equação original:
Simplificando:
Resposta
As soluções implícitas da equação diferencial são:
- Para
constante:
- Quando
varia com :
onde
é uma constante arbitrária.