Resolva as seguintes equações diferenciais. Soluções implícitas são suficientes. Justifique sua resposta (não use fórmulas prontas, mas execute os passos necessários para chegar à solução)
y=x y^prime+(y^prime)^-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para resolver a seguinte equação:
y = x cdot y' + ( y' )^-2
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem porque envolve y e sua primeira derivada y' . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de álgebra para isolar y' e, em seguida, integrar para encontrar y .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar a derivada de y em relação a x de p , ou seja:
p = y'
Substituindo y' por p na equação original, temos:
y = x cdot p + p^-2

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma relação entre y e p . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x . Lembre-se que y é uma função de x , então usamos a regra da cadeia para diferenciar:
dydx = ddx ( x cdot p + p^-2 )
Sabemos que dydx = p , então podemos escrever:
p = p + x cdot dpdx + ( -2 cdot p^-3 cdot dpdx )

Passo 4

Vamos simplificar a equação obtida:
p = p + x cdot dpdx - 2 cdot p^-3 cdot dpdx
Subtraindo p de ambos os lados:
0 = x cdot dpdx - 2 cdot p^-3 cdot dpdx
Fatorando dpdx :
0 = dpdx ( x - 2 cdot p^-3 )

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
  1. dpdx = 0
  2. x - 2 cdot p^-3 = 0
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: dpdx = 0
Isso significa que p é constante. Vamos chamar essa constante de C . Então:
p = C
Substituindo de volta na equação y = x cdot p + p^-2 :
y = Cx + C^-2
Caso 2: x - 2 cdot p^-3 = 0
Resolvendo para p :
x = 2 cdot p^-3 Rightarrow p^-3 = x2 Rightarrow p = ( 2x )^13

Passo 6

Agora, com p em termos de x , podemos encontrar y substituindo p de volta na equação original:
y = x cdot p + p^-2 = x cdot ( 2x )^13 + ( 2x )^-23
Simplificando:
y = x cdot ( 2x )^13 + ( x2 )^23

Resposta

As soluções implícitas da equação diferencial são:
  1. Para p constante:
y = Cx + C^-2
  1. Quando p varia com x :
y = x cdot ( 2x )^13 + ( x2 )^23
onde C é uma constante arbitrária.

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