Exercício 5 (5 pontos). Este exercício é um bônus. Ele visa desenvolver as habilidades dos alunos para tratar de problemas matemáticos.
O objetivo deste exercício é demonstrar o Teorema de Existência e Unicidade (Teorema 3.1.1 das notas de aula) a partir do Teorema de Picard (Teorema 3.1.2).
Você deve demonstrar que: dado o PVI, y^prime=f(x, y), sujeito a y(x0)=y0 e considerando uma região retangular no plano x y que contém o ponto (x0, y0) em seu interior, no qual as funções f(x, y) e partial fpartial y são contínuas. Nessas condições, mostre que existe um intervalo I centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o PVI dado.
Você pode usar o seguinte (Teorema de Picard): Seja f: R R uma função definida no retângulo R=(x, y):|x-a| <= h,|y-b| <= k que satisfaz as seguintes condições:
  1. fé contínua em R com f(x, y) <= M para todo (x, y) in R e M h <= k.
  2. existe uma constante L tal que para todo x in[a-h, a+h] temos que |f(x, y1)-f(x, y2)| <= L|y1-y2| para todo par y1, y2 in[b-k, b+k] (chamada de condição de Lipschitz).
Nessas condições o PVI: y^prime=f(x, y) com y(a)=b tem uma solução única y no intervalo [a-h, a+h].
Dica 1: Se queremos mostrar que A implica C e sabemos que B implica C, é suficiente demonstrar que A implica B.
Dica 2: Lembre-se do Teorema do Valor Médio dos cursos de cálculo: dada uma função contínua g em um intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto ( a, b ), existe um c tal que a<c<b e g(b)-g(a)=g^prime(c)(b-a).
Dica 3: Use também o Teorema de Weierstrass: Toda função contínua g em um intervalo fechado [a, b] é limitada, ie., para todo x em [a, b] temos que existem ell, L reais tais que ell <= g(x) <= L. O mesmo vale se a função g for de duas variáveis contínua em um retângulo [a, b] times[c, d].
Dica 4: Veja o uso do Teorema do Valor Médio no Exemplo 3.1.3 das notas de aula. Você consegue ver como pode usar as dicas dadas para mostrar que a condição de Lipschitz vale quando partial fpartial y é contínua?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Teorema de Existência e Unicidade a partir do Teorema de Picard. O que a gente precisa mostrar é que, dado um problema de valor inicial (PVI) da forma y' = f(x, y) com y(x0) = y0 , e sabendo que f e sua derivada parcial em relação a y , partial fpartial y , são contínuas num retângulo ao redor de (x0, y0) , existe um intervalo ao redor de x0 onde tem uma única função y(x) que resolve esse PVI. Para isso, vamos usar o Teorema de Picard, que nos dá condições para garantir essa existência e unicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que o Teorema de Picard nos diz. Ele afirma que se a função f é contínua num retângulo R = (x, y) : |x - a| <= h, |y - b| <= k e satisfaz duas condições:
  1. f é limitada nesse retângulo, ou seja, existe um número M tal que |f(x, y)| <= M para todo (x, y) in R , e M h <= k .
  2. f satisfaz a condição de Lipschitz em y , ou seja, existe uma constante L tal que |f(x, y1) - f(x, y2)| <= L |y1 - y2| para todo x e para todo y1, y2 no intervalo considerado.
Se essas duas condições são atendidas, então o PVI y' = f(x, y) , y(a) = b , tem uma solução única no intervalo [a - h, a + h] .

Passo 3

Agora, para demonstrar o Teorema de Existência e Unicidade usando o Teorema de Picard, precisamos mostrar que as condições dadas no exercício (continuidade de f e partial fpartial y ) implicam que f satisfaz as duas condições do Teorema de Picard.

Passo 4

Primeiro, como partial fpartial y é contínua no retângulo, pelo Teorema de Weierstrass, sabemos que partial fpartial y é limitada nesse retângulo. Isso quer dizer que existe uma constante L tal que | partial fpartial y | <= L para todo (x, y) no retângulo.

Passo 5

Com a derivada parcial limitada, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio. Isso nos permite afirmar que para qualquer y1 e y2 no intervalo, existe um ponto intermediário onde:
|f(x, y1) - f(x, y2)| = | partial fpartial y | |y1 - y2| <= L |y1 - y2|
Isso mostra que f satisfaz a condição de Lipschitz com a constante L .

Passo 6

Agora, precisamos garantir que f é limitada no retângulo. Como f e partial fpartial y são contínuas no retângulo fechado, novamente pelo Teorema de Weierstrass, f também é limitada. Ou seja, existe um M tal que |f(x, y)| <= M para todo (x, y) no retângulo.

Passo 7

Além disso, precisamos que M h <= k . Podemos escolher h e k de forma que essa condição seja satisfeita. Por exemplo, podemos definir k = M h , garantindo que M h <= k sempre.

Passo 8

Com isso, mostramos que as condições do Teorema de Picard são satisfeitas pelas hipóteses do exercício. Ou seja, f é contínua, limitada, e satisfaz a condição de Lipschitz em y . Portanto, pelo Teorema de Picard, existe um intervalo I centrado em x0 onde existe uma única função y(x) que resolve o PVI y' = f(x, y) , y(x0) = y0 .

Resposta

Assim, demonstramos que, sob as condições dadas, existe um intervalo I centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial y' = f(x, y) , y(x0) = y0 .

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