Exercício 5 (5 pontos). Este exercício é um bônus. Ele visa desenvolver as habilidades dos alunos para tratar de problemas matemáticos.
O objetivo deste exercício é demonstrar o Teorema de Existência e Unicidade (Teorema 3.1.1 das notas de aula) a partir do Teorema de Picard (Teorema 3.1.2).
Você deve demonstrar que: dado o PVI, , sujeito a e considerando uma região retangular no plano que contém o ponto em seu interior, no qual as funções e são contínuas. Nessas condições, mostre que existe um intervalo centrado em e uma única função definida em I que satisfaz o PVI dado.
Você pode usar o seguinte (Teorema de Picard): Seja uma função definida no retângulo que satisfaz as seguintes condições:
fé contínua em com para todo e .
existe uma constante tal que para todo temos que para todo par (chamada de condição de Lipschitz).
Nessas condições o PVI: com tem uma solução única y no intervalo .
Dica 1: Se queremos mostrar que implica e sabemos que implica , é suficiente demonstrar que implica .
Dica 2: Lembre-se do Teorema do Valor Médio dos cursos de cálculo: dada uma função contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto ( ), existe um tal que e .
Dica 3: Use também o Teorema de Weierstrass: Toda função contínua g em um intervalo fechado é limitada, ie., para todo em temos que existem reais tais que . O mesmo vale se a função for de duas variáveis contínua em um retângulo .
Dica 4: Veja o uso do Teorema do Valor Médio no Exemplo 3.1.3 das notas de aula. Você consegue ver como pode usar as dicas dadas para mostrar que a condição de Lipschitz vale quando é contínua?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Teorema de Existência e Unicidade a partir do Teorema de Picard. O que a gente precisa mostrar é que, dado um problema de valor inicial (PVI) da forma com , e sabendo que e sua derivada parcial em relação a , , são contínuas num retângulo ao redor de , existe um intervalo ao redor de onde tem uma única função que resolve esse PVI. Para isso, vamos usar o Teorema de Picard, que nos dá condições para garantir essa existência e unicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que o Teorema de Picard nos diz. Ele afirma que se a função é contínua num retângulo e satisfaz duas condições:
é limitada nesse retângulo, ou seja, existe um número tal que para todo , e .
satisfaz a condição de Lipschitz em , ou seja, existe uma constante tal que para todo e para todo no intervalo considerado.
Se essas duas condições são atendidas, então o PVI , , tem uma solução única no intervalo .
Passo 3
Agora, para demonstrar o Teorema de Existência e Unicidade usando o Teorema de Picard, precisamos mostrar que as condições dadas no exercício (continuidade de e ) implicam que satisfaz as duas condições do Teorema de Picard.
Passo 4
Primeiro, como é contínua no retângulo, pelo Teorema de Weierstrass, sabemos que é limitada nesse retângulo. Isso quer dizer que existe uma constante tal que para todo (x, y) no retângulo.
Passo 5
Com a derivada parcial limitada, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio. Isso nos permite afirmar que para qualquer y1 e y2 no intervalo, existe um ponto intermediário onde:
|f(x, y1) - f(x, y2)| = | partial fpartial y | |y1 - y2| <= L |y1 - y2|
Isso mostra que f satisfaz a condição de Lipschitz com a constante L .
Passo 6
Agora, precisamos garantir que f é limitada no retângulo. Como f e partial fpartial y são contínuas no retângulo fechado, novamente pelo Teorema de Weierstrass, f também é limitada. Ou seja, existe um M tal que |f(x, y)| <= M para todo (x, y) no retângulo.
Passo 7
Além disso, precisamos que M h <= k . Podemos escolher h e k de forma que essa condição seja satisfeita. Por exemplo, podemos definir k = M h , garantindo que M h <= k sempre.
Passo 8
Com isso, mostramos que as condições do Teorema de Picard são satisfeitas pelas hipóteses do exercício. Ou seja, f é contínua, limitada, e satisfaz a condição de Lipschitz em y . Portanto, pelo Teorema de Picard, existe um intervalo I centrado em x0 onde existe uma única função y(x) que resolve o PVI y' = f(x, y) , y(x0) = y0 .
Resposta
Assim, demonstramos que, sob as condições dadas, existe um intervalo I centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial y' = f(x, y) , y(x0) = y0 .