Exercício 4 (2 pontos). Uma garrafa de refrigerante possuía a temperatura de 25^circ C e foi colocada sob uma banheira de gelo no instante de tempo t=0. Depois de 30 minutos, a temperatura é 5^circ C. Assumindo que a evolução da temperatura T(t) segue a lei de resfriamento de Newton: T^prime(t)=k cdot(T-Tm), onde Tm é a temperatura ambiente (banheira de gelo: Tm=0 ), e k é uma constante. Veja que temos T(0)=25 e T(30)=5. Em qual instante de tempo a temperatura chegará a 1^circ C ? Justifique. Você deve necessariamente resolver a EDO correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma garrafa de refrigerante que começa com uma temperatura de 25^circ C e é colocada em uma banheira de gelo, que está a 0^circ C, no tempo t = 0. Depois de 30 minutos, a temperatura dela cai para 5^circ C. A gente sabe que a mudança de temperatura ao longo do tempo segue a Lei de Resfriamento de Newton, que é uma equação diferencial. Nosso objetivo é descobrir em quanto tempo a temperatura da garrafa vai chegar a 1^circ C.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura da garrafa ( T'(t)) é proporcional à diferença entre a temperatura da garrafa ( T(t)) e a temperatura do ambiente ( Tm). A equação fica assim:
T^prime(t) = k cdot (T(t) - Tm)
No nosso caso, Tm = 0^circ C, então a equação fica:
T^prime(t) = k cdot T(t)

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolvê-la separando as variáveis. Vamos reescrever a equação:
dTdt = k cdot T
Agora, separamos as variáveis T e t:
1T , dT = k , dt

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados:
integral 1T , dT = integral k , dt
Isso resulta em:
ln |T| = k t + C
Onde C é a constante de integração. Para simplificar, podemos remover o valor absoluto porque a temperatura é positiva:
ln T = k t + C

Passo 5

Para resolver para T(t), aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
e^ln T = e^k t + C
Simplificando:
T(t) = e^C cdot e^k t
Podemos chamar e^C de outra constante, digamos A:
T(t) = A cdot e^k t

Passo 6

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar as constantes A e k. Primeiro, sabemos que T(0) = 25:
25 = A cdot e^k cdot 0 Rightarrow 25 = A cdot 1 Rightarrow A = 25
Então, a equação fica:
T(t) = 25 cdot e^k t

Passo 7

Agora, usamos a segunda condição: T(30) = 5:
5 = 25 cdot e^k cdot 30
Dividindo ambos os lados por 25:
525 = e^30 k Rightarrow 15 = e^30 k

Passo 8

Para encontrar k, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln ( 15 ) = 30 k
Sabemos que ln ( 15 ) = -ln 5, então:
- ln 5 = 30 k Rightarrow k = -ln 530

Passo 9

Agora que temos k, podemos reescrever a função T(t):
T(t) = 25 cdot e^ -ln 530 t

Passo 10

Queremos encontrar o tempo t quando T(t) = 1:
1 = 25 cdot e^ -ln 530 t
Dividindo ambos os lados por 25:
125 = e^ -ln 530 t

Passo 11

Aplicamos ln em ambos os lados para resolver para t:
ln ( 125 ) = -ln 530 t
Sabemos que ln ( 125 ) = -ln 25 = -2 ln 5, então:
-2 ln 5 = -ln 530 t

Passo 12

Podemos simplificar os sinais negativos e dividir ambos os lados por ln 5:
2 = t30 Rightarrow t = 60 minutos

Resposta

A temperatura da garrafa chegará a 1^circ C após 60 minutos.

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