Exercício 4 (2 pontos). Uma garrafa de refrigerante possuía a temperatura de
e foi colocada sob uma banheira de gelo no instante de tempo
. Depois de 30 minutos, a temperatura é
. Assumindo que a evolução da temperatura
segue a lei de resfriamento de Newton:
, onde
é a temperatura ambiente (banheira de gelo:
), e
é uma constante. Veja que temos
e
. Em qual instante de tempo a temperatura chegará a
? Justifique. Você deve necessariamente resolver a EDO correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma garrafa de refrigerante que começa com uma temperatura de
e é colocada em uma banheira de gelo, que está a
, no tempo
. Depois de 30 minutos, a temperatura dela cai para
. A gente sabe que a mudança de temperatura ao longo do tempo segue a Lei de Resfriamento de Newton, que é uma equação diferencial. Nosso objetivo é descobrir em quanto tempo a temperatura da garrafa vai chegar a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura da garrafa (
) é proporcional à diferença entre a temperatura da garrafa (
) e a temperatura do ambiente (
). A equação fica assim:
No nosso caso,
, então a equação fica:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolvê-la separando as variáveis. Vamos reescrever a equação:
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Para simplificar, podemos remover o valor absoluto porque a temperatura é positiva:
Passo 5
Para resolver para
, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Simplificando:
Podemos chamar
de outra constante, digamos
:
Passo 6
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
. Primeiro, sabemos que
:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, usamos a segunda condição:
:
Dividindo ambos os lados por 25:
Passo 8
Para encontrar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Agora que temos
, podemos reescrever a função
:
Passo 10
Queremos encontrar o tempo
quando
:
Dividindo ambos os lados por 25:
Passo 11
Aplicamos ln em ambos os lados para resolver para
:
Sabemos que
, então:
Passo 12
Podemos simplificar os sinais negativos e dividir ambos os lados por
:
Resposta
A temperatura da garrafa chegará a
após 60 minutos.