Considere o problema de determinar se o seguinte sistemas de equações é consistente quaisquer que sejam :
Defina vetores apropriados e escreva o problema em termos de . Depois resolva o problema.
Defina uma transformação linear apropriada e reescreva o problema em termos de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um sistema de equações e precisa descobrir se ele sempre tem solução, independente dos valores de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como vetores e transformações lineares. Vamos resolver isso passo a passo para ficar bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma mais organizada:
Passo 3
Agora, vamos definir vetores para representar as colunas dos coeficientes das variáveis e . Assim, temos:
Passo 4
O próximo passo é escrever o problema em termos de combinação linear desses vetores. A ideia é verificar se existe uma combinação desses vetores que iguale o vetor dos termos independentes b = b1 b2 b3 . Então, temos:
Lv1, v2, v3 = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = b
Aqui, c1, c2, c3 são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 5
Para resolver isso, vamos montar a matriz dos coeficientes e verificar se ela é invertível. A matriz é:
A = 2 & -4 & -2 -5 & 1 & 1 7 & -5 & -3
Vamos calcular o determinante dessa matriz para ver se existe uma solução única para qualquer b .
O determinante de A é zero, o que significa que a matriz A não é invertível. Isso indica que os vetores v1, v2, v3 são linearmente dependentes, ou seja, um deles pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 8
Como a matriz não é invertível, o sistema de equações pode não ter solução única para qualquer b . Para ser consistente para quaisquer b1, b2, b3 , devemos ter que Lv1, v2, v3 cobre todo o espaço R^3. Porém, devido à dependência linear, isso não acontece.
Passo 9
Agora, vamos definir uma transformação linear T que represente o sistema de equações. A transformação T: R^3 R^3 pode ser definida pela matriz A , ou seja:
T(x) = Ax
Aqui, x = x1 x2 x3 .
Passo 10
Reescrevendo o problema em termos de T , queremos saber se para todo b in R^3 , existe x in R^3 tal que T(x) = b . Mas, como vimos que A não é invertível, isso nem sempre é possível.
Resposta
O sistema de equações não é consistente para quaisquer valores de b1, b2, b3 . Ou seja, não existe solução para todo b in R^3 .