Considere o problema de determinar se o seguinte sistemas de equações é consistente quaisquer que sejam b1, b2, b3 :
2 x1-4 x2-2 x3 & =b1 -5 x1+x2+x3 & =b2 7 x1-5 x2-3 x3 & =b3
  • Defina vetores apropriados e escreva o problema em termos de Lv1, v2, v3. Depois resolva o problema.
  • Defina uma transformação linear apropriada e reescreva o problema em termos de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um sistema de equações e precisa descobrir se ele sempre tem solução, independente dos valores de b1, b2, b3 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como vetores e transformações lineares. Vamos resolver isso passo a passo para ficar bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma mais organizada:
2x1 - 4x2 - 2x3 &= b1 -5x1 + x2 + x3 &= b2 7x1 - 5x2 - 3x3 &= b3

Passo 3

Agora, vamos definir vetores para representar as colunas dos coeficientes das variáveis x1, x2 e x3 . Assim, temos:
v1 = 2 -5 7 , v2 = -4 1 -5 , v3 = -2 1 -3

Passo 4

O próximo passo é escrever o problema em termos de combinação linear desses vetores. A ideia é verificar se existe uma combinação desses vetores que iguale o vetor dos termos independentes b = b1 b2 b3 . Então, temos:
Lv1, v2, v3 = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = b
Aqui, c1, c2, c3 são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 5

Para resolver isso, vamos montar a matriz dos coeficientes e verificar se ela é invertível. A matriz é:
A = 2 & -4 & -2 -5 & 1 & 1 7 & -5 & -3
Vamos calcular o determinante dessa matriz para ver se existe uma solução única para qualquer b .

Passo 6

Calcular o determinante de A :
det(A) = 2 cdot (1 cdot (-3) - 1 cdot (-5)) - (-4) cdot (-5 cdot (-3) - 1 cdot 7) + (-2) cdot (-5 cdot (-5) - 1 cdot 7)
Calculando cada parte:
det(A) = 2 cdot (-3 + 5) - (-4) cdot (15 - 7) + (-2) cdot (25 - 7) = 2 cdot 2 - (-4) cdot 8 + (-2) cdot 18 = 4 + 32 - 36 = 0

Passo 7

O determinante de A é zero, o que significa que a matriz A não é invertível. Isso indica que os vetores v1, v2, v3 são linearmente dependentes, ou seja, um deles pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 8

Como a matriz não é invertível, o sistema de equações pode não ter solução única para qualquer b . Para ser consistente para quaisquer b1, b2, b3 , devemos ter que Lv1, v2, v3 cobre todo o espaço R^3. Porém, devido à dependência linear, isso não acontece.

Passo 9

Agora, vamos definir uma transformação linear T que represente o sistema de equações. A transformação T: R^3 R^3 pode ser definida pela matriz A , ou seja:
T(x) = Ax
Aqui, x = x1 x2 x3 .

Passo 10

Reescrevendo o problema em termos de T , queremos saber se para todo b in R^3 , existe x in R^3 tal que T(x) = b . Mas, como vimos que A não é invertível, isso nem sempre é possível.

Resposta

O sistema de equações não é consistente para quaisquer valores de b1, b2, b3 . Ou seja, não existe solução para todo b in R^3 .

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